Por favor me ayude, teoría de grupos. Prueba $b^{33}=e$.

Question

Que $G$ ser un grupo y $a,b \in G$. Demostrar eso si $a^{2}=e$ y $ab^{4}a=b^{7}$, entonces el $b^{33}=e$, $e$ Dónde está la identidad de un grupo $G$.

Answer 1

Así $\rm ab^4a=b^7$. Se aplican a izquierda y derecha para obtener $\rm a$ $\rm ab^7a=b^4$. Entonces, usando la simetría en el cálculo,

$$\rm ab^{4\times7}a=\begin{cases}(ab^4a)^7=(b^7)^7=b^{49} \\[3pt] \rm(ab^7a)^4=(b^4)^4=b^{16} \end{cases}$$

y así $\rm b^{49}=b^{16}\iff e=b^{49-16}=b^{33}$.

Tenga en cuenta que desde $\rm a^2=e\iff a=a^{-1}$, el mapa $\rm\Phi_a: x\mapsto axa=axa^{-1}$ verbal, que es un tipo especial de automorfismo. En particular $\rm\Phi_a(xy)=\Phi_a(x)\Phi_a(y)$ y por lo tanto cualquier elementos $\rm\Phi_a(x^{n})=\Phi_a(x)^n$y entero $\rm x,y$ ${\rm n}\in{\bf Z}$. Se empleó el último distributividad exponencial anterior.

Answer 2