Sustratos localmente compactos de R

Question

Estoy buscando un ejemplo de dos subconjuntos localmente compactos de la recta real R, pero su unión no es localmente compacta.

Sé que generalmente no es cierto que dicha unión sea localmente compacta, ya que podemos tomar $\left \{ (x,y):x>0 \right \}\cup \left \{ (0,0) \right \}\ $ donde el origen obviamente no tiene ninguna vecindad compacta. Pero no veo cómo puede ocurrir en R. Gracias.

Answer 1

Para $n\in\Bbb Z^+$ dejar $I_n=\left(\frac1{2n},\frac1{2n-1}\right)$ , dejemos que $A=\bigcup_{n\ge 1}I_n$ y que $B=\{0\}$ . Entonces $A$ y $B$ son localmente compactas, pero $A\cup B$ no es localmente compacto en $0$ . En realidad es la misma idea básica que tu ejemplo del avión.