Así que me encontré con este problema:
Demostrar que si $f$ está completo, $u=\text{Re} f$ , $v=\text{Im} f$ y $v(z)=u^4(z)+1$ $\forall z\in \mathbb{C}$ entonces $f$ es constante.
En este caso concreto, $v(z)\gt 0 \ \forall z\in \mathbb{C}$ por lo que aplicando el teorema de Liouville a $g=\exp(if)$ hace el trabajo, pero me preguntaba si hay alguna solución que aproveche la igualdad específica entre $u$ y $v$ en lugar de sólo la positividad de $v$ .
Obsérvese que tanto Liouville como el mapeo abierto son excesivos para este problema.
Por Cauchy--Riemann $$u_x=v_y \\ u_y =-v_x$$ Utilizando $v=u^4+1$ se obtiene $$u_x=4u^3u_y \\ u_y=-4u^3u_x$$
Así, $$ u_x=-16u_x u^6 \\ u_y=-16u^6 u_y $$
Esto da que para todos los $t \in C$ o bien tienes $u(t)=0$ o $(u_x(t)=0, u_y(t)=0)$ .
Un simple argumento de continuidad resuelve el problema:
El conjunto $$M:=\{ t \in \mathbb C : u(t) =0 \}$$ es cerrado, y por lo tanto $N:= \mathbb C \backslash M$ está abierto. En $N$ tienes $u_x=u_y=0$ y por lo tanto $u$ es constante en $N$ .
Por lo tanto, $u$ es constante en $M$ y constante en su complemento, por lo que por continuidad es constante.
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