Problema de distribución geométrica y binomial

Question

Dejemos que $X \sim Bi(n,p)$ y $Y \sim \mathcal{G}(p)$ .

(a) Demuestre que $P(X=0)=P(Y>n)$ .

(b) Encuentre el número de hijos que debe tener un matrimonio para que la probabilidad de tener al menos un varón sea $\geq \frac{8}{9}$ .

Para (a), $P(X=0)$ es la probabilidad de tener $0$ éxitos en $n$ ensayos con $p$ la probabilidad de éxito. Así que $P(X=0)=\binom{n}{0}(1-p)^n=(1-p)^n$ . Estoy un poco confundido con el cálculo de $P(Y>n)$ . Tal vez sea más fácil calcular $$P(Y>n)=1-P(Y\leq n).$$

He calculado esa expresión pero no estoy nada seguro de que sea correcta. $P(Y\leq n)$ sería la suma de las probabilidades de que el primer éxito se produzca en el i-ésimo ensayo para $1\leq i \leq n$ . Así que pensé $$P(Y \leq n)=\sum_{i=1}^n (1-p)^{i-1}p.$$

Bu, en general, $(1-p)^n \neq 1-\sum_{i=1}^n (1-p)^{i-1}p$ Así que está claro que estoy haciendo algo mal.

Para (b) no tengo ni idea de qué hacer, agradecería mucho sugerencias y correcciones sobre mi trabajo en (a).

Answer 1

(a) Dadas las expresiones de las pmfs para las distribuciones binomial y geométrica: $$ \mathbb{P}\{X=0\} = \binom{n}{0} p^0(1-p)^n = (1-p)^n $$ mientras que en realidad \begin {align} \mathbb {P} {Y > n\} &= 1 - \mathbb {P} {Y} \leq n\} = 1 - \sum_ {k=1}^n (1-p)^{k-1}p \\ &= 1 - p \sum_ {k=0}^{n-1} (1-p)^{k} = 1-p \frac {1-(1-p)^n}{1-(1-p)} \\ &= 1-p \frac {1-(1-p)^n}{p} = (1-p)^n = \mathbb {P}{X=0\}. \end {align} (utilizando la expresión de forma cerrada de a serie geométrica ).

Para (b) , dejemos que $Z$ sea el número de chicos entre $n$ hijos, suponiendo que cada niño es una niña o un niño independientemente, con probabilidad $1/2$ . Entonces está buscando el más pequeño $n$ para lo cual $\mathbb{P}\{Z=0\} \leq 1-8/9=1/9$ . ¿Cuál es la distribución de $Z$ ? ( Una pista: debe utilizar (a) para encontrar $\mathbb{P}\{Z=0\}$ en función de $n$ sólo).

Answer 2

La forma más fácil para a) es observar que la probabilidad de que $Y\gt n$ es la probabilidad de $n$ fallos seguidos, que es $(1-p)^n$ .

Sin embargo, el camino que iniciaste también funciona. Para $\sum_1^{n-1}p(1-p)^{k}$ es la suma de una serie geométrica finita con el primer término $p$ y la relación común $1-p$ . Por la fórmula habitual, esta suma es $$p\frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)},$$ que se simplifica a $1-(1-p)^n$ .

Hubiera sido un poco más rápido, si vas a sumar una serie, encontrar $$\sum_n^{\infty} p(1-p)^k.$$ Se trata de una serie geométrica infinita con el primer término $p(1-p)^n$ y la relación común $1-p$ . La suma es $(1-p)^n$ .

Un poco más rápido, pero ninguna serie es aún más rápida.

Para el segundo problema, la probabilidad de que no haya chicos en $n$ los juicios es $\frac{1}{2^n}$ . Queremos que esto sea $\le \frac{1}{9}$ . Tres niños no serán suficientes, tendrán que ir por $4$ . Entonces la probabilidad de que no haya chicos será $\frac{1}{16}$ .

Lo que no entiendo es por qué quieren al menos un chico.