Distribución binomial con probabilidad condicional

Question

Actualmente estoy revisando algunos problemas de ejemplo en un libro que tengo y no estoy seguro de cómo enfocar una solución.

Me dan lo siguiente.

La probabilidad de que una persona se beneficie de un determinado medicamento es de 0,90. Un médico atenderá a 12 pacientes ese día.

A partir de estos datos puedo concluir que p=.9 y q=.1

La siguiente pregunta se basa en los datos dados.

Encuentre P(A | B) en la que P(El medicamento ayudó a la primera persona | El medicamento ayudó exactamente a 11 personas)

El primer paso que hice fue $$ P(B)=\binom{12}{11}.9^{11}(.1)^{1}\approx 0.3766 $$ Utilizando la fórmula de la distribución binomial, encuentro que P(B) es aproximadamente 0,3766. En este punto estoy atascado. Creo que debo utilizar el Teorema de Bayes en este punto, pero no estoy seguro de cómo encontrar la respuesta con él.

Answer 1

La pregunta no tiene nada que ver con la distribución binomial. Basta con saber que todas las personas se parecen según la distribución binomial. Si lo único que se sabe es que se ayudó exactamente a 11 de 12 personas, el conjunto de personas ayudadas es un subconjunto aleatorio de 11 personas. La probabilidad de que cualquier persona esté en ese conjunto es $11/12$ .

Probablemente no es la forma en que se pretendía que resolvieras el ejercicio, lo cual es una pena. Lo que querían que hicieras era calcular $P(B)$ y $P(A \cap B)$ . Ya has calculado $P(B) = \binom{12}{11} p^{11} q = 12 p^{11}q$ . En cuanto a $P(A \cap B)$ , se ayuda a la primera persona con la probabilidad $p$ y en cuanto a los otros 11, sabemos que exactamente 10 fueron ayudados, así que $P(A \cap B) = p \cdot \binom{11}{10} p^{10} q = \binom{11}{10} p^{11} q = 11 p^{11} q$ . Dividiendo, obtenemos $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B) = 11/12$ .

La situación se vuelve más interesante si se sabe que al menos 11 personas fueron ayudadas. Si $p_{11},p_{12}$ son las probabilidades de que se haya ayudado exactamente a 11 o a 12 (que se pueden calcular utilizando la fórmula de la distribución binomial) entonces, condicionado a la información, se sabe que con probabilidad $p_{11}/(p_{11}+p_{12})$ exactamente 11 personas fueron ayudadas, y con probabilidad $p_{12}/(p_{11}+p_{12})$ exactamente 12, por lo que la probabilidad de que una persona en particular sea ayudada es $(11/12) p_{11}/(p_{11}+p_{12}) + (12/12) p_{12}/(p_{11}+p_{12})$ .