¿Hay una función $f\colon \mathbb{R} \to\mathbb{R} $ tal que $ f(f(x)) = -x$?
Respuesta
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Hay.
Deje $\{A,B\}$ ser una partición de los reales positivos tales que $|A|=|B|=|\mathbb{R}|$, y deje $\varphi:A\to B$ ser un bijection. Definir $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ como sigue:
$$f(x)=\begin{cases} 0,&\text{if }x=0\\ \varphi(x),&\text{if }x\in A\\ -\varphi^{-1}(x),&\text{if }x\in B\\ -\varphi(-x),&\text{if }-x\in A\\ \varphi^{-1}(-x),&\text{if }-x\in B\;. \end{casos}$$
Entonces
$$\begin{align*} f(f(x))&=\begin{cases} 0,&\text{if }x=0\\ f(\varphi(x)),&\text{if }x\in A\\ f(-\varphi^{-1}(x)),&\text{if }x\in B\\ f(-\varphi(-x)),&\text{if }-x\in A\\ f(\varphi^{-1}(-x)),&\text{if }-x\in B\;. \end{casos}\\\\ y=\begin{cases} 0,&\text{if }x=0\\ -\varphi^{-1}(\varphi(x)),&\text{if }x\in A\\ -\varphi(\varphi^{-1}(x)),&\text{if }x\in B\\ \varphi^{-1}(\varphi(-x)),&\text{if }-x\in A\\ \varphi(\varphi^{-1}(-x)),&\text{if }-x\in B \end{casos}\\\\ y=-x\;. \end{align*}$$
La idea es simplemente que $f$ permutes los conjuntos de $A,B,-A$, e $-B$ en el orden
$$A\stackrel{f}\longrightarrow B\stackrel{f}\longrightarrow -A\stackrel{f}\longrightarrow -B\stackrel{f}\longrightarrow A$$
dejando $0$ fijo. (Aquí se $-A= \{-a:a\in A\}$, y del mismo modo para $-B$.)
Agregado: es posible, aunque un poco desordenado, para definir $A,B$ $\varphi$ explícitamente. Podemos, por ejemplo, establecer $A=(0,1]$ $B=(1,\to)$ y definen $\varphi$ como sigue. En primer lugar, para $n\in\omega$ deje $\varphi(2^{-n})=2^{n+1}$, por lo que el $\varphi(1)=2,\varphi(1/2)=4,\varphi(1/4)=8$, y así sucesivamente. A continuación, vamos a $\varphi$ mapa del intervalo de $(2^{-(n+1)},2^{-n})$ para el intervalo de $(2^n,2^{n+1})$ en la forma obvia, teniendo en $x$$1/x$.
