Comprobación de la mensurabilidad de la diagonal

Question

Permítanme aclarar mis dudas.

Según he entendido en el siguiente enlace:

Conjunto no medible en el producto $\sigma$ -álgebra s.t. cada sección es medible.

Podemos concluir que: Para todos los espacios medibles $(\Omega , \mathcal F)$ NO tiene por qué ser así: $\{(\omega,\omega) \in \Omega^{2} : \omega \in \Omega \} \in \mathcal F \otimes \mathcal F$ .

Ahora, en la misma línea mi pregunta es:

Para cualquier espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F , \mathbb P)$ cualquier espacio medible $(S, \mathcal S)$ y cualquier $\mathcal F/ \mathcal S$ - funciones medibles $X,Y : \Omega \to S$ ¿el conjunto $\{X=Y\}:= \{\omega \in \Omega : X(\omega) = Y(\omega)\}$ pertenecen a $\mathcal F$ ??

P.S.:- Lo que estoy pensando es: mi pregunta es de alguna manera sobre la mensurabilidad del "dominio" mientras que, el enlace proporciona la no mensurabilidad del codominio (bajo el mapeo, en particular, para $X=Y=\mbox{Id}$ ). ¿No es así? Y si es así, ¿sirve de algo?

Gracias de antemano,

Answer 1

Su pregunta:

Para cualquier espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F , \mathbb P)$ cualquier espacio medible $(S, \mathcal S)$ y cualquier $\mathcal F/ \mathcal S$ - funciones medibles $X,Y : \Omega \to S$ ¿el conjunto $\{X=Y\}:= \{\omega \in \Omega : X(\omega) = Y(\omega)\}$ pertenecen a $\mathcal F$ ??

La respuesta es no.

Considere cualquier espacio de probabilidad $(\Omega^2, {\mathcal F} \otimes {\mathcal F}, \mathbb P)$ , de tal manera que $D= \{(\omega,\omega) : \omega \in \Omega \}$ no es ${\mathcal F} \otimes {\mathcal F}$ -Medible.

Considere las funciones $X$ definido por $X (\omega_1,\omega_2) = \omega_1$ y $Y$ definido por $Y (\omega_1,\omega_2) = \omega_2$ . Es fácil demostrar que son funciones medibles y por tanto son variables aleatorias. Sin embargo, $\{X=Y\}:= \{(\omega_1,\omega_2) \in \Omega^2 : X(\omega_1,\omega_2) = Y(\omega_1,\omega_2)\}= \{(\omega_1,\omega_2) \in \Omega^2 : \omega_1 = \omega_2\}=D$ .

Así que, $\{X=Y\}$ no es ${\mathcal F} \otimes {\mathcal F}$ -Medible.

He aquí un sencillo ejemplo detallado:

Considere $\Omega=[0,1]$ y $\mathcal F =\{E : E\subseteq [0,1] \textrm{ and } E \textrm{ is countable or co-countable} \}$ . ( $E$ es co-contable, si $[0,1] \setminus E$ es contable).

Es fácil ver que $\mathcal F$ es un $\sigma$ -álgebra. Definir $\mu$ en $\mathcal F$ como $\mu(E) = 0$ si $E$ es contable y $\mu(E) = 1$ si $E$ es co-contable. Es fácil ver que $\mu$ es una medida, de hecho una probabilidad.

Ahora, considere $(\Omega^2, {\mathcal F} \otimes {\mathcal F}, \mu \otimes \mu)$ . Es un espacio de probabilidad.

Tenga en cuenta que $D=\{(\omega,\omega) : \omega \in \Omega \}$ no es ${\mathcal F} \otimes {\mathcal F}$ -Medible.

Las funciones $X$ definido por $X (\omega_1,\omega_2) = \omega_1$ y $Y$ definido por $Y (\omega_1,\omega_2) = \omega_2$ son funciones medibles y por tanto son variables aleatorias.

Y tenemos
$\{X=Y\}:= \{(\omega_1,\omega_2) \in \Omega^2 : X(\omega_1,\omega_2) = Y(\omega_1,\omega_2)\}= \{(\omega_1,\omega_2) \in \Omega^2 : \omega_1 = \omega_2\}=D$ .

Así que, $\{X=Y\}$ no es ${\mathcal F} \otimes {\mathcal F}$ -Medible.