Un subgrupo con índice $n$ que no contiene ningún subgrupo normal es isomorfo a $S(n)$

Question

Si $H$ sea un subgrupo de $G$ tal que el índice de $H$ en $G$ es $n$ También $H$ no contiene ningún subgrupo normal de $G$ . Demostrar que $H$ es isomorfo a un subgrupo de $S(n)$ .

$S(n)$ es el grupo de todas las permutaciones sobre un conjunto de $n$ elementos. No entiendo dónde está la condición ' $H$ no contiene ningún subgrupo normal no trivial' útil? Agradezco de antemano a quien me haga entender. Gracias.

Answer 1

Escriba $G=t_1H\cup t_2H \cup \dots\cup t_nH$ .
Definimos $\phi:G\rightarrow S_n$ por $$\phi(x)=\begin{pmatrix}t_1H&&t_2H&&\dots &&t_nH\\ xt_1H&&xt_2H&&\dots &&xt_nH\end{pmatrix}$$
Se puede comprobar que $\phi$ es un homomorfismo donde el núcleo de $\phi$ consiste en la intersección de todos los grupos conjugados con $H$ .

Dejemos que $K=\ker \phi$
Claramente, $K$ es un subgrupo normal de $G$ .
Así que $K$ es un subgrupo normal de $H$ desde $K=\cap_{g\in G}g^{-1}Hg\leq H$
Desde $H$ no contiene ningún subgrupo normal no trivial, $K=\{1\}$ lo que implica que $\phi$ es inyectiva.
Concluimos que $\phi$ es un isomorfismo de $G$ en un subgrupo de $S_n$

Explicación extra:
Dejemos que $x\in \ker \phi$
Entonces $xt_iH=t_iH$ lo que significa que $x\in t_iHt_i^{-1}$ para $i=1,\dots,n$

Dejemos que $y\in G$
Entonces $y=t_ih$ para algunos $i$
Por lo tanto, $yHy^{-1}=t_ihHh^{-1}t_i^{-1}=t_iHt_i^{-1}$ .
Así, todo conjugado de $H$ es en forma de $t_iHt_i^{-1}$ .
Desde $x\in \ker\phi$ se encuentra en $t_iHt_i^{-1}$ por cada $i=1,2,\dots,n$ concluimos que $x$ debe estar en cada conjugado de $H$ .