¿Cuáles son los puntos extremos de este gráfico?

Question

El gráfico en cuestión está aquí.

Suponiendo que el intervalo inspeccionado sea $[0, 4]$ :

1- El punto $(0, 4)$ no califica para ser un máximo absoluto, pero ¿qué pasa con digamos $(0.000\cdots001, 3.9999\cdots)$ ? ¿Por qué no podemos decir que el intervalo $[0, 4]$ tiene un máximo absoluto aunque haya valores relativamente mayores entre $x = 0$ y $x = \frac13$ ?

2- Podemos decir que el punto $(0, 1)$ es un mínimo absoluto para este intervalo?

3- El punto $(1, 3)$ es un máximo local, ¿verdad?

4- Por último, ¿qué pasa con el punto $(4, 3)$ ? ¿Podemos decir que también es un máximo local?

Mis pensamientos son: Las preguntas 2 y 3 pueden responderse muy probablemente con un "sí". He visto muchas respuestas contradictorias respecto a la pregunta 4, así que ya no estoy seguro...

Y la pregunta 1 es la que no he podido encontrar ninguna respuesta relacionable. El punto final x = 0 donde la función tendría normalmente un máximo no es continua. Por lo tanto, nombrando el valor máximo "más cercano" $(3.999\cdots)$ parecía bastante lógico, pero aparentemente no funciona así. Pero, ¿por qué? Mi opinión es que no podemos definirlo como un exactamente punto, por lo tanto lo descartamos ? Me gustaría que se aclarara esto.

Answer 1

1. No existe tal punto. Para cualquier punto en el intervalo que usted afirma que es un máximo absoluto, puedo producir un punto en el que el gráfico es más alto.
2. Sí.
3. Sí.
4. Sí.

Por lo tanto, la designación del valor máximo "más cercano" $(3.999⋯)$ parecía bastante lógico, pero aparentemente no funciona así. Pero, ¿por qué?

No hay un punto "más cercano": para cualquier punto no nulo $x$ Hay un punto entre $0$ y $x$ (de hecho, hay incontables e infinitos puntos de este tipo). $3.999\ldots$ es exactamente igual a $4$ .