Hola estoy tratando de aprender precalc y una cosa que estoy perplejo es el concepto de acotación. Por lo que entiendo la acotación es si una función tiene o no un máximo y un mínimo absoluto. Si sólo tiene un máximo entonces está acotada por arriba, de lo contrario si sólo tiene un mínimo está acotada por abajo. Si tiene ambos entonces está acotada, si no tiene ninguno no está acotada. ¿Es correcta esta definición? Estoy tratando de utilizar esta lógica para comprobar si $y=\sqrt{13-x^2}$ está acotado de alguna manera o no.
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DiGi
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Tienes la idea correcta, pero una función acotada por arriba no tiene por qué tener un máximo absoluto, una función acotada por abajo no tiene por qué tener un mínimo absoluto, y una función acotada no tiene por qué tener ninguno de los dos. Una función de valor real en $\Bbb R$ está acotado por encima si existe algún número real $m_a$ tal que $f(x)\le m_a$ para todos $x\in\Bbb R$ y está acotado por debajo si existe algún número real $m_b$ tal que $f(x)\ge m_b$ para todos $x\in\Bbb R$ . Está acotado si lo está tanto por arriba como por abajo. No es necesario que $f(x)=m_a$ para algunos $x$ aunque $m_a$ es el menor número real $m$ con la propiedad de que $f(x)\le m$ para todos $x\in\Bbb R$ y una afirmación similar es válida para $m_b$ .
Un ejemplo de función acotada que no tiene un máximo o un mínimo absoluto es la función $f(x)=\tan^{-1}x$ : $-\frac{\pi}2<f(x)<\frac{\pi}2$ para todos $x\in\Bbb R$ pero $f(x)$ no tiene ni un máximo ni un mínimo absoluto.
user247327
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Más sencillamente, el "máximo" de un conjunto de números es el mayor número en el conjunto y el "mínimo" es el número más pequeño en el conjunto.
El "intervalo abierto", (0, 1), el conjunto de todos los números x, 0< x< 1, tiene el 1, y todo número mayor que el 1, como "límite superior" y el 1 es el "menor límite superior" pero NO es el "máximo" porque el 1 no está en el conjunto. Del mismo modo, cualquier número 0 o menor es un "límite inferior". El 0 es el "mayor límite inferior" pero no es el "mínimo" porque no está en el conjunto.
gimusi
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La acotación no implica que la función tenga un máximo o un mínimo absoluto.
Consideremos por ejemplo $f(x)=\frac1x$ para $x>0$ que está acotado por debajo pero no hay un mínimo (existe un infimo que es cero).
Lo que sí es cierto es que cuando existe un máximo absoluto [o un mínimo] entonces $f(x)$ está acotado por encima [o por debajo].
