Dejemos que $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ sea una serie condicionalmente convergente. Entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty b_n$ de términos positivos de $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ y $\sum_{n=1}^\infty c_n$ de los términos negativos son divergentes.
Mi prueba : si $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es condicionalmente convergente, entonces $\sum_{n=1}^\infty |a_n| = \infty$ . Supongamos que $\sum_{n=1}^\infty b_n$ y $\sum_{n=1}^\infty c_n$ son convergentes, por lo que al estar compuestos por términos positivos y negativos respectivamente, entonces $\sum_{n=1}^\infty |b_n| < \infty$ y $\sum_{n=1}^\infty |c_n| <\infty$ y tenemos que $$ \sum_{n=1}^\infty |a_n| = \sum_{n=1}^\infty |b_n| + \sum_{n=1}^\infty |c_n| < \infty $$ lo cual es absurdo ya que suponíamos que la serie era condicionalmente convergente.
Editar
¿Puedo definir $b_n := \left\{\begin{array}{ll} a_n &\text{if } a_n > 0 \\ 0 &\text{otherwise} \end{array} \right.$ y $c_n$ análogamente para los términos negativos y decir que $\sum a_n = \sum b_n + \sum c_n $ y, como $\sum a_n$ converge entonces tanto $\sum b_n, \sum c_n$ ¿convergen? ¿Son las nuevas series iguales a las series de términos positivos (y negativos)?
¿Es esto correcto? Gracias de antemano
