Puedo seguir y entender el álgebra en la prueba de que un $\mathbb{R}$ función diferenciable es $\mathbb{C}$ diferentaible si y sólo si el parcial $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ - $\frac{1}{i}$ $\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ $ = 0$ . Pero no puedo imaginarme esto. Tratar puntos en el plano complejo como vectores en $\mathbb{R^2}$ si una función es diferenciable en $\mathbb{R^2}$ ¿Por qué, geométricamente, no es siempre holomorfa?
Respuesta
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¿Qué significa "diferenciable" geométricamente? Localmente aproximable por un mapa lineal, ¿no? Así que si una función $f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ es diferenciable en $z \in \mathbb R^2$ tenemos que $$ f(x + h) = f(x) + Ah + o(h), \qquad h \to 0 $$ para un lineal $A \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ . Ser holomorfo significa, que localmente, $f\colon \mathbb C \to \mathbb C$ puede ser aproximado por un complejo mapa lineal $\mathbb C \to \mathbb C$ que se escribe como $$ f(x + h) = f(x) + a\cdot h + o(h), \qquad h \to 0 $$ con $a \in \mathbb C$ . Ahora pregúntese qué mapas lineales $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ surgen de la multiplicación compleja? La multiplicación preserva los ángulos en 0, por ejemplo, los mapas lineales generales no necesitan hacer eso. Escribiendo $a = \Re a + i\Im a$ y $h = \Re h + i \Im h$ tenemos que \[ a \cdot h = ( \Re a \Re h - \Im a \Im h) + i ( \Im a \Re h + \Re a \Im h) \] que es el mapa lineal complejo se representan por real $2 \times 2$ -matrices de la forma \[ \begin {pmatrix} \Re a & - \Im a \\ \Im a & \Re a \end {pmatrix} \] Pero no todos los mapas lineales (que pueden surgir como derivadas de un $\mathbb R$ -función diferenciable) tienen el siguiente aspecto.
