Irreductibilidad de $x^2+1$ en $\mathbb{F}_p$ con $p \equiv 3 \mod 4$

Question

$p$ es un número primo y $\mathbb{F}_p$ es el $\mathbb{Z}/p$ campo.

El polinomio dado es $x^2+1$ y no entiendo cómo puedes concluir que cuando $x^2+1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_p[x]$ entonces $p \equiv 3 \mod 4$ ?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Recordemos que el grupo unitario $(\mathbb{F}_p)^\times$ es cíclico de orden $p-1$ . Si $p \equiv 1 \pmod{4}$ entonces $4 \mid p-1$ Por lo tanto $(\mathbb{F}_p)^\times$ tiene un elemento $i$ de orden $4$ . Entonces $i^4 = 1$ Así que $i^2 = -1$ ya que el orden de $i$ no es $2$ . Entonces $x^2 + 1 = (x-i)(x+i)$ es reducible.

(En el caso restante $p=2$ tenemos $x^2+1 = (x+1)^2$ por el El sueño de un novato .)

Answer 2

Deseo ayudarle, donde esta solución en la teoría de números.

$x^2+1=0 (mod p) \Leftrightarrow x^2\equiv-1(mod p) \Leftrightarrow (\frac{-1}{p})=1 \Leftrightarrow p\equiv 1(mod 4)$

$x^2+1\ne 0 (mod p) \Leftrightarrow x^2≢-1(mod p) \Leftrightarrow (\frac{-1}{p})=-1 \Leftrightarrow p\equiv 3(mod 4)$

donde $(\frac{-1}{p})$ es el símbolo de Legendre.