Tengo $$\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{\text{d}x}{\cos^3{x}+\sin^3{x}}$ $ tangente sustitución de medio ángulo le da un polinomio de cuarto grado en el denominador que es difícil de factor.
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- ¿Es posible calcular esta integral (3 respuestas )
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$$I = \int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\left(1-\frac{1}{2}\sin(2x)\right)}=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{\sqrt{2}\cos(x)\left(1-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)} $ $ por lo tanto, a través de la sustitución $x=\arcsin t$: %#% $ de #% y última integral es perfectamente administrable a través de la fracción parcial descomposición.
El resultado es:
$$ I = \sqrt{2}\int_{0}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos(x)\left(\frac{3}{2}-\cos^2 x\right)}=\sqrt{2}\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{dt}{(1-t^2)\left(\frac{1}{2}+t^2\right)}$$
Renan
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Uno puede escribir $$\begin{align} \int_0^{\pi/2}\frac{\text{d}x}{\cos^3{x}+\sin^3{x}}&=\int_0^{\pi/2}\frac{\text{d}x}{(\cos x+\sin x)(\cos^2{x}-\cos x\sin x+\sin^2{x})} \\\\&=\frac{\sqrt{2}}2\int_0^{\pi/2}\frac{\text{d}x}{\cos(x-\frac{\pi}4)\:(1-\frac12\sin(2x))} \\\\&=\frac{\sqrt{2}}2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{\text{d}u}{\cos u\:\left(1-\frac12\cos(2u)\right)} \\\\&=\sqrt{2}\int_0^{\pi/4}\frac{\cos u\:\text{d}u}{\left(1-\sin^2u\right)\:\left(\sin^2u+\frac12\right)} \\\\&=\sqrt{2}\int_0^{\sqrt{2}/2}\frac{\text{d}v}{\left(1-v^2\right)\:\left(v^2+\frac12\right)} \\\\&=\frac{\pi}3+\frac{2\sqrt{2}}{3}\log\left(1+\sqrt{2}\right). \end {Alinee el} $$
