Cómo reducir esta EDO de Riccati a una $1^{st}$ de orden lineal: $y'=1+x-(1+2x)y+xy^2$ ?

Question

Estoy tratando de resolver esta ecuación diferencial:

$$ y'=1+x-(1+2x)y+xy^2 \quad (E_y)$$

que tiene una solución parcial dada $y_1(x)=1$

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Esta ecuación es aparentemente la forma de Riccati. La teoría establece que la siguiente sustitución reducirá la EDO a una forma lineal de primer orden:

$$(y(x)\neq 1): u(x) = \frac{1}{y(x)-y_1(x)} = \frac{1}{y(x)-1} \iff $$

$$ \bbox[15px,#ffd,border:1px solid blue]{y(x)=1 + \frac{1}{u(x)} \quad(1)} \quad \bbox[15px,#ffd,border:1px solid blue]{\text{and}\quad y'(x) =-\frac{u'(x)}{u^2(x)} \quad (2)}$$

Por lo tanto, el enchufe $(1),(2)$ en $(E_y)$ :

$$ u'(x) = u^2(x)(2+x)+u(x)(2x+1)-x \quad (E_u)$$

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Aparentemente, la sustitución no cambió la forma de la ecuación diferencial. Observamos que $(E_u)$ sigue siendo la forma de Riccati.

¿Por qué ha ocurrido esto y cuál es la forma adecuada de resolverlo?

Answer 1

$$y'=1+x-(1+2x)y+xy^2~~~(1)$$ Una solución de esto es $y(x)=1.$ Que la otra solución sea $$y=1+\frac{1}{u(x)}$$ Pongámoslo en (1), obtenemos $$u'(x)-u(x)=-x \implies \frac{d}{dx}ue^{-x}=-xe^{-x}\implies u=-e^{x}\int xe^{-x} dx+Ce^{x}$$ $$\implies u(x)=(1+x)+ce^{x}$$ Así que la segunda solución de (1) es $$y_2(x)=1+\frac{1}{1+x+Ce^{x}}$$

Answer 2

$$y'=1+x-(1+2x)y+xy^2$$ $$y'=1-y+x(y-1)^2$$ Esta es la ecuación diferencial de Bernoulli

Sustituir $z=y-1$ : $$z'=-z+xz^2$$ es fácil transformar esta ED en una ED lineal de primer orden, basta con sustituir $u=\dfrac 1z$ . $$u'=u-x$$