Demostrar para cada uno $a ∈ G, aHa^{-1}$ es un subgrupo de G.

Question

Pregunta:

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ . Para cualquier $a \in G$ , dejemos que $aHa^{-1} = \{axa^{-1} : x \in H\}$ ; $aHa^{-1}$ se llama conjugado de $H$ . Demuestra: Para cada $a \in G$ , $aHa^{-1}$ es un subgrupo de $G$ .

Sé que para demostrar que algo es un subgrupo tiene que ser no vacío, estar cerrado bajo una operación, contener su identidad y su inversa.

Creo que para demostrar que H contiene su inversa hay que hacer lo siguiente:

$aea^{-1} = aa^{-1}e = e$ para cualquier $a \in G$ . Por lo tanto, $e \in H$ .

pero después de eso estoy perdido.

Answer 1

Dejemos que $\alpha, \beta\in aHa^{-1}$ entonces $\exists x,y \in H$ tal que $\alpha=axa^{-1}$ y $\beta=aya^{-1}$ . Tenga en cuenta que $aHa^{-1}\neq \emptyset$ porque $e\in H$ (identidad oh $H$ ), entonces $e=aa^{-1}=aea^{-1}\in aHa^{-1}$ .

Entonces, $$\alpha \beta^{-1}=(axa^{-1})(aya^{-1})^{-1}=(axa^{-1})((a^{-1})^{-1}y^{-1}a^{-1})=$$ $$=(axa^{-1})(ay^{-1}a^{-1})=ax(a^{-1}a)y^{-1}a^{-1} =axy^{-1}a^{-1}=a(xy^{-1})a^{-1}\in aHa^{-1},$$ porque $x,y\in H<G\Rightarrow xy^{-1}\in H<G$ .

Entonces, $aHa^{-1}<G$ , $\forall a\in H$ .

Nota: $H<G$ significa que $H$ es un subgrupo de $G$ .

Answer 2

Usted ha mostrado $aHa^{-1}$ contiene la identidad $e$ En realidad. Y por lo tanto es ciertamente no vacío. Eso es un tercio de la batalla.

Para mostrar $aHa^{-1}$ es cerrado bajo inversos, considere un elemento $aha^{-1}$ . ¿Cuál es su inversa en $G$ ? ¿Es eso también en $aHa^{-1}$ ?

Suponga que tiene dos elementos $aha^{-1}$ y $ah'a^{-1}$ de $aHa^{-1}$ . ¿Puedes demostrar que su producto está en $aHa^{-1}$ ?

Answer 3

Una forma de probar un subconjunto $K$ de un grupo $G$ es un subgrupo es demostrar:

1) El conjunto $K$ es no vacía.

2) Para cada $x,y \in K, xy^{-1} \in K$ .

(¡A ver si puedes demostrar que este criterio es un subgrupo!)

Ha demostrado 1), ya que la identidad $e \in K = aHa^{-1}$ . Ahora dejemos que $x,y \in aHa^{-1}$ . Entonces $x = aha^{-1}$ y $y = ah'a^{-1}$ para algunos $h,h' \in H$ . Pero $y^{-1} = ah'^{-1}a^{-1}$ (comprueba si no estás familiarizado con esta fórmula). Por lo tanto, $xy^{-1} = aha^{-1}ah'^{-1}a^{-1} = ahh'^{-1}a^{-1}$ . Desde $H$ es un subgrupo de $G$ , $hh'^{-1} \in H$ Así que $xy^{-1} \in aHa^{-1}$ , lo que completa la prueba.