Límite de la inversa de la diferencia de dos matrices en forma cuadrática

Question

Dejemos que $A=(a_{ij}(x))$ y $B=(b_{ij}(x))$ sea invertible simétrica positiva definida ${n\times n}$ matrices, $a_{ij}(x)\geq 0,\,b_{ij}(x)\geq0\,\forall i,j$ También deja que $y$ ser un $n$ -vector.

Tenga en cuenta que $Q=y^T(A- B)^{-1}y$ es un escalar.

Como $x\to \infty$ , $a_{ij}(x)\to 0$ , $b_{ij}(x)\to 0$ . ¿Podemos demostrar que $|Q|\to \infty$ ? Mi sospecha se debe a $(A-B)^{-1}=\frac{1}{\det(A-B)}\mbox{Adj}(A-B)$ por lo que el determinante tenderá a $zero$ .

Answer 1

Resulta que aunque $A - B \to 0$ , es posible que no tengamos $|Q| \to \infty$ . Por ejemplo, considere $$ A(x) = \frac 1x \pmatrix{2&0\\0&1}, \quad B(x) = \frac 1x\pmatrix{1&0\\0&2}, \quad y = \pmatrix{1\\1}. $$ Tenemos $Q = 0$ para todos $x$ para que $\lim_{x \to \infty} |Q| = 0$ .

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Supongamos que $M(x) = A(x)-B(x)$ es positiva definida (para todo $x$ ), $M(x) \to 0$ como $x \to \infty$ y $y$ es distinto de cero. Por el teorema de Rayleigh-Ritz, tenemos $$ Q(x) = y^TM^{-1}(x)y \geq \lambda_{\min}(M^{-1}(x)) \|y\|^2 = [\lambda_{\max}(M(x))]^{-1}\|y\|^2 \geq \|M(x)\|^{-1}\|y\|^2. $$ Aquí, $\|M(x)\|$ puede referirse a cualquier norma matricial submultiplicativa (por ejemplo, podemos tomar la norma de Frobenius $\|M\| = \sqrt{\sum_{i,j}m_{ij}^2}$ ). Dado que $M(x) \to 0$ tenemos $\|M(x)\| \to 0$ . Desde $\|y\| \neq 0$ se deduce que $\|y\|^2/\|M(x)\| \to \infty$ para que efectivamente tengamos $Q(x) \to \infty$ .