Derivado de $\int_0^x F(x, t) dt$

Question

Dejemos que $F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ . ¿Hay alguna manera de expresar la integral $$\frac{\partial}{\partial x} \int_0^x F(x, t) dt$$ ¿en otros términos útiles?

Así que me gustaría un método que exprese esto en términos de integrales de una sola variable, es decir, integrales de la forma $\int_a^b G(t)dt$ .

Por ejemplo, tengo la integral

$$ \frac{\partial}{\partial x} \int_0^x - \frac{\text{cos}(xt)}{t} dt $$

Creo que esto debería ser muy elemental, pero no consigo entenderlo.

Answer 1

Uno tiene $$ \frac{d}{dx} \int_0^xF(x,t) dt = \int_0^x \frac{ \partial}{\partial x} F(x,t) dt + F(x,x)$$

Answer 2

Por el Regla integral de Leibniz : \begin {align} \frac { \partial }{ \partial x} \int ^x_0- \frac { \cos (xt)}{t}dt & =- \frac { \cos (x^2)}{x}+ \int ^x_0 \frac { \partial }{ \partial x} \left (- \frac { \cos (xt)}{t} \right )dt \\ &= - \frac { \cos (x^2)}{x}+ \int ^x_0 \sin (xt)\N-, dt \\ &= - \frac { \cos (x^2)}{x}- \frac { \cos (x^2)}{x}+ \frac {1}{x} \\ &= - \frac {2 \cos (x^2)}{x}+ \frac {1}{x} \end {align}