Lamento decir que las cosas están un poco apagadas. Es difícil decir qué es un malentendido y qué son cuestiones tipográficas/terminológicas/de lenguaje. Pero, me voy a meter de lleno :)
Si tenemos 3 sistemas de ecuaciones,
Pero aquí tenemos un único sistema de tres ecuaciones, no tres sistemas.
que se cruzan en el punto (1,2,3) ¿tiene soluciones triviales o no triviales?
Una de las motivaciones para el estudio del álgebra lineal es determinar cuándo un sistema de ecuaciones lineales tiene solución y, además, describir la(s) solución(es). Sólo los sistemas de la forma $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ (los llamamos homogéneo cuando el lado derecho es el vector cero) tienen "obviamente" una solución (aplicar $A$ a $\mathbf{0}$ , obtenga $\mathbf{0}$ atrás), y sólo en este caso utilizamos el término trivial solución, y sólo llamamos a la solución "obvia" $\mathbf{x} = \mathbf{0} = (0, 0, 0)$ trivial .
Dado que tu lado derecho no es el vector cero, yo ni siquiera utilizaría los términos trivial o no trivial; una solución puede o no existir, no tenemos garantizada una, a diferencia del caso homogéneo. Yo me limitaría a llamar $(1, 2, 3)$ una solución, yo no la llamaría no trivial (o trivial).
Supongamos que es este sistema de ecuaciones el que se cruza en (1,2,3) y la fila se reduce a la matriz de identidad:
\begin {align}x+y+2z&=9 \\ 2x + 4y - 3z &= 1 \\ 3x + 6y -5z &= 0 \end {align}
Sé que las soluciones triviales deben estar en (0,0,0).
Es cierto, sólo el vector cero sería una solución trivial. El vector cero no es una solución, pero si lo fuera, lo llamaríamos trivial.
Desde el $\overset{\text{left hand side of the}}{\wedge}$ 3 sistemas sistema de $\overset{\text{three}}{\wedge}$ las ecuaciones pueden reducirse a $\mathbf{I}$ la matriz identidad, deben ser invertibles,
Si el lado izquierdo de una matriz aumentada puede reducirse a la matriz identidad, significa que la matriz particular $3 \times 3$ matriz (de coeficientes de los lados izquierdos de las ecuaciones)/la transformación lineal que representa es invertible, no el sistema de ecuaciones. La implicación para el sistema de ecuaciones es que hay una solución única .
pero como no son triviales no son invertibles.
¿Por qué la contradicción, o es que lo he entendido mal?
Cuando tenemos un sistema homogéneo $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ , y sabemos que hay soluciones no triviales, entonces podemos decir que la matriz/transformación no debe ser invertible.
Más generalmente, un sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución si y sólo si la matriz de coeficientes es invertible. Cuando el lado derecho es el vector cero, sabemos que $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ es una solución. Cualquier otra solución (que llamaríamos no trivial) indicaría que la matriz no es invertible, ya que tendríamos más de una solución.
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Esto no está en la forma $Ax = 0$ por lo que el "vector cero es la única solución si $A$ es invertible" no se aplica aquí. De hecho, $Ax = b$ tiene la solución trivial si $b = 0$ .
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Entonces, para comprobar si tiene soluciones triviales o no triviales, primero debo convertir de Ax = b a Ax = 0? ¿Es eso correcto?
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No, realmente no se puede convertir entre esas formas (a menos que $b = 0$ en cuyo caso ya está en esa forma). Hay que hacer una reducción de filas y resolver explícitamente para $(x,y,z)$ . Has señalado (no lo he comprobado, pero me fío de ti) que el sistema se puede reducir a $I$ Así que hay precisamente una solución.