cuál es el orden del subgrupo de $S_3$

Question

¿Verdadero o falso? $S_{3}$ tiene un subgrupo de orden $5$ .

$S_3$ es el grupo de todas las permutaciones de los números $1,2,$ y $3$ . Un ejemplo de permutación es, por ejemplo, $(32)$ , lo que significa cambiar $3$ y $2$ (por lo que la cadena $123$ se convierte en $132$ ). De la misma manera $(123)$ transforma la cadena $123$ a $231$ ( $1\to 2\to 3\to 1$ ).

Ahora el grupo $S_3$ contiene los elementos: $\{ e, (12),(13),(23),(123),(132)\}$ que tiene orden $6$ como debería ( $3!=6$ El orden de $S_n$ es $n!$ ).

Ahora, por supuesto $\{e\}$ y $S_3$ son subgrupos (siempre lo son: para un grupo $G$ , $\{e\}\le G$ y $G\le G$ ). Ahora otro subgrupo es $\{e,(123),(132)\}$ , para $(132)$ es la inversa de $(123)$ , $e$ está ahí y el producto de dos elementos cualesquiera está de nuevo en el subgrupo.

Ahora, observe que los elementos $(12),(13)$ y $(23)$ tener orden $2$ --es decir $(12)(12) = e$ ya que si cambiamos $1$ y $2$ y luego los cambiamos de nuevo no hemos cambiado nada así que todos generan un subgrupo de orden $2$ :

$$\begin{cases}\{e,(12)\}\\ \{e,(13)\}\\ \{e,(23)\}\end{cases}$$

********Estos son todos los subgrupos de $S_3$ por lo que sé****** *************gracias ******* por lo que la respuesta es falsa ***Estoy en lo cierto*****

Answer 1

Supongo que no has visto el teorema de Lagrange, ya que facilita mucho esta pregunta. Como resultado, podemos resolver esto a la vieja usanza.

Dado que los subgrupos son cerrados bajo inversos, y la $3$ -ciclos, $(123),(321)$ son inversos entre sí, cualquier subgrupo de orden $5$ debe tener los dos y la identidad (porque si no le falta más de un elemento, y no puede tener tamaño $5$ ), lo que significa que si el subgrupo existe, entonces sólo es igual a $S_3\setminus\{x\}$ para algunos $x\in\{(12),(23),(13)\}$ . Llamemos a este conjunto de candidatos " $H$ ".

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $(123)=(12)(23)$

Caso 1: $(12\not\in H$ . Entonces, como $(123),(23)\in H$ y $(123)(23)=(12)$ tenemos una contradicción.

Caso 2: $(23)\not\in H$ . Entonces $(12),(123)\in H$ y $(12)(123)=(23)$ una contradicción.

Caso 3: $(13)\not\in H$ . A continuación, anote $(12),(23)\in H$ y $(12)(23)(12)=(13)$ una contradicción, por lo que no hay manera de tener un subconjunto de orden $5$ que también es un grupo.

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En el caso de que tienen visto el teorema de Lagrange y simplemente no vemos cómo aplicarlo, observamos que los subgrupos tienen la propiedad de que si $H\le G$ entonces el orden de cada elemento divide el orden del grupo. Pero entonces sabemos que la identidad, $e$ es el único elemento de orden $1$ y podemos ver directamente al examinar cada elemento que los órdenes de todos los elementos de $G$ son uno de $1,2$ o $3$ . En consecuencia, si denotamos por $|x|$ el orden de un elemento $x$ entonces, cuando $|x|\ne 1$ debemos tener $|x|\in\{2,3\}$ y ninguno de estos divide $5$ por lo que no puede haber ningún subgrupo de ese tamaño, ya que los elementos no identitarios de dicho subgrupo tendrían que tener un orden que dividiera a $5$ y ninguno de los dos $2,3$ dividir $5$ .

Answer 2

Si existe un subgrupo de orden $5$ de un grupo con más de $5$ miembros, entonces algún miembro no está en ese subgrupo, y ese miembro está en algún coset izquierdo del subgrupo de orden $5$ y ese coset de la izquierda tiene $5$ miembros. ¿Qué implica esto?