Cómo comprobar si un $\mathbb{R} G$ -¿el módulo es irreducible?

Question

Dejemos que $V$ ser un $\mathbb{C} G$ -módulo con carácter $\chi$ . Sabemos que $V$ es irreducible si y sólo si el producto interior $\left<\chi,\chi\right>=1$ .

Pero, ¿y si $V$ es un $\mathbb{R} G$ -¿Módulo?

Answer 1

En $\Bbb R G$ hay tres tipos de módulos irreducibles. El primero se obtiene considerando un irreducible $\Bbb CG$ -módulo con carácter no real carácter $\rho$ y restringiendo a $\Bbb RG$ . Esto tiene carácter $\chi= \rho+\overline\rho$ y tiene $\left<\chi,\chi\right>=2$ .

El segundo tipo son las representaciones "ortogonales". Se trata de módulos $M$ con $\left<\chi,\chi\right>=1$ con la propiedad de que $M\otimes\Bbb C$ es un módulo irreducible sobre $\Bbb C$ con carácter de valor real.

El tercer tipo son las representaciones "simplécticas". Un ejemplo es la representación del grupo de cuaterniones en $\Bbb R^4$ (como se identifica con $\Bbb H$ ). Estos provienen de restringir ciertos módulos irreducibles sobre $\Bbb CG$ a $\Bbb RG$ . El carácter sobre $\Bbb R$ será $\chi=2\rho$ donde $\rho$ es el carácter sobre $\Bbb C$ y luego $\left<\chi,\chi\right>=4$ .

Answer 2

A $\mathbb{C}G$ -Módulo $V$ es irreducible si y sólo si su anillo de endomorfismo $\operatorname{End}_{\mathbb{C}G}(V)$ consiste en escalares, es decir, tiene dimensión $1$ . Desde $\langle \chi_V, \chi_W \rangle = \dim \operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G}(V, W)$ tenemos que $V$ es irreducible si y sólo si $\langle \chi_V, \chi_V \rangle = 1$ .

Para $\mathbb{R}G$ -módulos $V$ y $W$ Todavía tenemos eso $ \langle \chi_V, \chi_W \rangle = \dim \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}G}(V, W)$ Sin embargo, ahora hay tres posibilidades para $\dim \operatorname{End}_{\mathbb{R}G}(V)$ cuando $V$ es irreducible. $\operatorname{End}_{\mathbb{R}G}(V)$ debe ser un álgebra de división real de dimensión finita, y por tanto isomorfa a $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ o los cuaterniones $\mathbb{H}$ que tienen dimensión real $1$ , $2$ y $4$ respectivamente. Así que si $\langle \chi_V, \chi_V \rangle > 4$ entonces $V$ no puede ser irreducible, sin embargo si $\langle \chi_V, \chi_V \rangle \leq 4$ Necesitamos información adicional.

Sin embargo, tenemos otra caracterización de la irreducibilidad para $\mathbb{R}G$ -módulos: $V$ es irreducible si y sólo si admite una única forma bilineal simétrica invariante (hasta el escalar). Las formas bilineales invariantes son elementos de $(V^* \otimes V^*)^G$ y las formas bilineales invariantes simétricas son elementos de $(\operatorname{Sym}^2 V^*)^G$ , donde $\operatorname{Sym}^2 V^*$ denota los tensores simétricos en $V^* \otimes V^*$ . Así que $V$ es irreducible si y sólo si $\dim (\operatorname{Sym}^2 V^*)^G = 1$ .

Podemos escribir esta última condición en términos de caracteres. Dado que $(\operatorname{Sym}^2 V^*)^G \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}G}(1, \operatorname{Sym}^2 V^*)$ como $\mathbb{R}$ -espacios vectoriales, tenemos $$ \dim (\operatorname{Sym}^2 V^*)^G = \dim \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}G}(1, \operatorname{Sym}^2 V^*) = \langle \chi_1, \chi_{\operatorname{Sym}^2 V^*} \rangle$$ y como $$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V^*}(g) = \frac{1}{2}\left( \chi_V(g^2) + \chi_V(g)^2 \right)$$ finalmente conseguimos $$ \dim (\operatorname{Sym}^2 V^*)^G = \frac{1}{2|G|}\sum_{g \in G} \chi_V(g^2) + \chi_V(g)^2$$ y por lo tanto $V$ es irreducible si y sólo si esta última expresión es $1$ .

Si definimos el Indicador de Frobenius-Schur $\nu_V = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in g} \chi_V(g^2)$ entonces podemos decir que $V$ es irreducible si y sólo si $\langle \chi_V, \chi_V \rangle + \nu_V = 2$ . Para un irreducible $\mathbb{R}G$ -Módulo $V$ el indicador de Frobenius-Schur $\nu_V$ también toma diferentes valores dependiendo de si $V$ es de tipo real, complejo o cuaterniónico. He aquí una breve tabla de estos números para $V$ un irreducible $\mathbb{R}G$ -módulo:

$$\begin{matrix} & \langle \chi_V, \chi_V \rangle & \nu_V \\ V \text{ real} & 1 & 1 \\ V \text{ complex} & 2 & 0 \\ V \text{ quaternionic} & 4 & -2 \end{matrix}$$