Ampliación del teorema de Taylor de una a varias variables

Question

En mi clase de cálculo estamos tratando el teorema de Taylor en varias variables. Cuando estudiamos la función $f(x,y)=\sin(xy)$ mi profesor dijo que en lugar de aplicar el teorema en varias variables podemos simplemente aplicar el teorema de Taylor en una variable y luego sustituir la variable por $xy$ :

$$\sin(t)=t-{t^3\over 3!}+{t^5\over 5!}+ R_5(t)$$ lo que da como resultado: $$\sin(xy)=xy-{(xy)^3\over 3!}+{(xy)^5\over 5!}+ R_5(xy)$$

Mi pregunta es: ¿cuándo podemos hacer este tipo de sustitución? ¿Qué condiciones debe cumplir la función? ¿O lo hacemos siempre que podamos? Os agradecería mucho vuestra ayuda :)

Answer 1

La justificación es muy sencilla y una vez que la entiendas verás cómo utilizarla en otros lugares. Así que, dados los valores de $x$ y $y$ El valor de $xy$ es sólo un número, llámalo $t$ . Ahora, usted está tratando de calcular $\sin (xy)$ que es sólo $\sin t$ por lo que se puede utilizar la expansión de Taylor para $\sin$ y calcular $\sin (t)$ usándolo. Ahhhh, pero $t=xy$ por lo que se encuentra que cuando se calcula $\sin (t)$ sólo estás sustituyendo $t$ por $xy$ .

Esto funcionará en general cuando la función de varias variables pueda presentarse como la composición de una función de una variable con otra función de varias variables. En casos como $x\sin (y)$ este enfoque no funcionará.