Demostrar que $f: \mathbb N \to \mathbb N$ , $f(x)=x^2$ no está en

Question

Para empezar, la definición de una función onto (suryectiva) es la siguiente.

Una función $\phi$ de $A$ a $B$ es suryente si para cada para cada $b$ en $B$ existe al menos una $a$ en $A$ tal que $\phi(a)=b$ .

Dejemos que $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ y $x\in \mathbb{N}$ y $y\in \mathbb{N}$ .

Tenemos que $y=f(x)=x^2$ , lo que da $x=\pm \sqrt y$ .

Si $x=- \sqrt y$ tenemos que $y=x^2$ . Y si $x = \sqrt y$ tenemos que $y=x^2$ .

Esto demuestra que hay al menos un elemento $x$ que es la preimagen de un elemento $y$ . No veo cómo se puede demostrar que esta función no es un obstáculo.

Answer 1

Toma $y$ sea un número natural sin cuadrado, entonces no hay ningún número natural $x$ tal que $f(x)=y$ (Por ejemplo, ¿puedes encontrar algún número natural tal que su cuadrado sea igual a 2?) Así que $f$ no puede ser sobre.

Answer 2

Esto demuestra que hay al menos un elemento $x$ que es la preimagen de un elemento $y$

Eso es correcto, pero no necesariamente un elemento $x$ en su dominio de $\mathbb{N}$ .

De hecho, si $y$ no es un cuadrado perfecto, entonces $x$ no está en $\mathbb{N}$ .

---

Para demostrar que no es suryectiva, no es tan difícil con un contraejemplo:

No hay $x \in \mathbb{N}$ para lo cual $f(x) = 2$ . Así, $f$ no puede ser sobreyectiva.