Espectro y espectro continuo del operador $T:C[0,1]→C[0,1]$ , donde $Tx(t)=tx(t)$ .

Question

He demostrado que el Spectrum es $[0,1]$ y el espectro de puntos es $\emptyset$ Ahora tengo que demostrar que $\overline{range(\lambda I -T)}=C[0,1]$ , esto para encontrar el Espectro Continuo, pero no me resulta fácil porque la métrica en C[0,1] es confusa. ¿Alguien podría explicarme?

Answer 1

Para $\lambda \in [0,1]$ cada función $x$ en el rango de $\lambda I - T$ satisface $x(\lambda) = 0$ . Demuestre que el conjunto $E_\lambda$ de todos $x$ Satisfaciendo a $x(\lambda) = 0$ está cerrado.

Esto es trivial cuando se piensa en ello. Supongamos que $x_n$ es una secuencia de elementos de $E_\lambda$ que convergen en $x$ en la norma. Es decir, $x_n$ es una secuencia de funciones continuas sobre $[0,1]$ , todo ello satisfactorio $x_n(\lambda) = 0$ que convergen uniformemente a $x$ . Entonces está claro que $x(\lambda) = 0$ también, así que $x \in E_\lambda$ .

Dado que la gama de $\lambda I - T$ está contenida en un subconjunto cerrado adecuado de $C([0,1])$ su cierre no es $C([0,1])$ .