¿Cómo puedo definir una relación de equivalencia?

Question

Sea $f:$ una función analítica real. Supongamos que $f$ tiene infinitos ceros. Sea $D$ el conjunto de valores de la función $f$. Quiero construir una partición de $D$ de la siguiente manera: $D=DD$ donde $D= \{ xD:f(x)=0 \} $ y $D= \{ xD:f(x)0 \} $. Una forma de hacer esto es definir una relación de equivalencia. Mi pregunta es: ¿Cómo puedo definir esta relación?

Answer 1

Una partición es lo mismo que una relación de equivalencia: Dada cualquier partición $P=\{D_i:i\in I\}$ de cualquier conjunto $D$, puedes definir la relación de equivalencia $\sim_P$ por $$x\sim_P y \Longleftrightarrow \exists i\in I: x,y\in D_i.$$ A la inversa, cualquier relación de equivalencia te da una partición de $D$ en clases de equivalencia.