Encontrar la función f(z) para una matriz

Question

Dejemos que $z \in \mathbb{C}$ .

Dejemos que $ f(z)= \begin{cases} 1,& \text{if } |z|<\frac{1}{2}\\ 0, & \text{if} |z-2| <\frac{1}{2} \\ 0, & \text{if} |z-3| <\frac{1}{2} \end{cases}$

Dejemos que \begin {equation*} A = \begin {pmatrix} 4 & 1 & 0 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0 & -6 \\ 2 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & -3 \\ \end {pmatrix} \end {equation*}

Encuentre $f(A)$ .

Intento:

Sabemos que $\mathbb{C}^6$ es un espacio de Hilbert. y $B(\mathbb{C}^6) \simeq \mathbb{M_6}$ . Así que podemos considerar $A$ como una función en $B(\mathbb{C}^6)$

Y podemos escribir $Ae_j= \sum_{n=1}^6a_n e_n$ , donde $(e_n)$ es la base ortonormal para $\mathbb{C}^6$ .

También sé que el espectro $\sigma(A)= \{\text{eigenvalues of} A \}$

A partir de aquí no estoy seguro de cómo proceder.

Estoy tratando de resolver esto usando el punto de vista del Álgebra de Banach. ¡Pero cualquier otra sugerencia será muy apreciada también!

EDIT: Mis disculpas, había una errata en la pregunta original. Ahora se ha corregido

Gracias.

Answer 1

Edición importante : Me acabo de dar cuenta de que $A$ no es una matriz normal. La técnica siguiente funcionaría en general para una matriz normal, sin embargo no estoy seguro de cómo $f(A)$ se define incluso para una matriz no normal. El cálculo funcional continuo (o de Borel para las álgebras de von Neumann) sólo tiene sentido para elementos normales, por lo que recuerdo.

Puesto original:

Introduciendo la matriz en una calculadora, se obtienen los valores propios: $\sigma(A)=\{0,2,3\}$ . La función $f$ que está definiendo no está definida en $0$ Así que voy a escribir $c=f(0)$ . Si puedes encontrar un polinomio $p(z)$ tal que $p(0)=c$ , $p(2)=f(2)=0$ y $p(3)=f(3)=0$ (por ejemplo $p(z)=\frac{c}{6}(z-2)(z-3)$ es un polinomio de este tipo) entonces como $f=p$ en $\sigma(A)$ tenemos que $f(A)=p(A)$ . Pero $p(A)$ es fácil de calcular, por ejemplo si $p$ es el polinomio que mencioné antes, entonces $$p(A)=\frac{c}{6}(A-2I)(A-3I).$$