Para qué valores de x los vectores $(x,0,x + 1),(1,x,1),(0,x,−x)$ forman una base para R3?

Question

Para qué valores de x los vectores $(x,0,x + 1),(1,x,1),(0,x,−x)$ forman una base para R3?

¿Es 1 una respuesta correcta a esto? Los vectores serían cada uno linealmente independiente, sin embargo esto parece demasiado simple y supongo que hay un error en alguna parte.

Si el 1 funciona entonces parecería que cualquier número real funcionaría ya que la ubicación del 0 en el primer y último vector siempre significará que los tres vectores son linealmente independientes, ¿no?

Answer 1

Guía:

• Poner esos vectores como filas de una matriz, calcular el determinante.

• Si forman una base, el determinante no tomaría valor cero, por lo que sólo hay que encontrar la raíz del polinomio característico y evitar esa raíz para que sea una base.

• Observación: Encontrar todos los valores en lugar de encontrar uno que funcione.

Editar:

$$\begin{bmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & x & - x \\ x & 0 & x+ 1\end{bmatrix}$$

Realice $R_3-xR_1$ :

$$\begin{bmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & x & - x \\ 0 & -x^2 & 1\end{bmatrix}$$

Realice $R_3+xR_2$ :

$$\begin{bmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & x & - x \\ 0 & 0 & 1-x^2\end{bmatrix}$$

Para que sea no singular, cada columna debe tener un punto de giro, por lo que necesitamos $x \neq 0$ y $1-x^2 \neq 0$ .

Por lo tanto, las condiciones que necesitas son $x \neq 0$ y $1-x^2 \neq 0$ .

Answer 2

¿Cómo ha encontrado este valor?

También puedes "pegar" los vectores para formar una matriz (de dimensión 3x3), e intentar encontrar su determinante. Obtendrás un polinomio en $x$ y los ceros de este polinomio son los valores para los que los tres vectores son linealmente dependientes.

Answer 3

Una base de $\mathbb{R}^3$ debe tener tres vectores lineales independientes, por lo que la ecuación $$\lambda_1 (x,0,x+1)^t + \lambda_2 (1,x,1)^t + \lambda_3 (0,x,−x)^t = (0,0,0)^t$$ sólo puede tener la solución $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (0,0,0)$ . En forma de matriz $$A \lambda = 0 \iff \\ \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & x & x \\ x+1 & 1 & -x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Ahora podemos ir a por el determinante de la matriz, que no debe desaparecer para que la solución sea única, o resolvemos el sistema lineal homogéneo y comprobamos qué influencia tiene $x$ tiene en el número de soluciones.

Método A: Resolución del sistema lineal

Todavía están abiertas las posibilidades de una solución o infinitas soluciones, como sabemos que el vector nulo es una solución el caso de ninguna solución no se aplica aquí.

En forma de matriz aumentada tenemos: $$A \lambda = 0 \iff [A|0] \iff \\ \left[ \begin{array}{ccc|c} x & 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & x & 0 \\ x+1 & 1 & -x & 0 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{ccc|c} x & 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & x & 0 \\ 1 & 0 & -x & 0 \end{array} \right]$$ Caso 1: Para $x\ne 0$ podemos dividir por $x$ y tienen $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1/x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -x & 0 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1/x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1/x & -x & 0 \end{array} \right] \to \\ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1/x & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/x-x & 0 \end{array} \right]$$ Caso 1.1: Para $1/x-x \ne 0$ podemos dividir por $1/x-x$ y obtener $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1/x & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right]$$ por lo que para $$x\ne 0 \wedge 1/x-x \ne 0 \iff \\ x\ne 0 \wedge 1/x \ne x \iff \\ x\ne 0 \wedge 1 \ne x^2 \iff \\ x \not\in \{-1, 0, 1 \}$$ los vectores son linealmente independientes. Como tres vectores linealmente independientes forman una base de $\mathbb{R}^3$ hemos terminado con este caso.

Caso 1.2: Para $x \ne 0$ y $x \in \{ -1, 1 \}$ , lo que significa que $x=\pm 1$ tenemos $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \mp 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$ que da las infinitas soluciones $\lambda = (0, 0, \lambda_3)$ . Así que en este caso los tres vectores son linealmente dependientes, no tenemos ninguna base para $\mathbb{R}^3$ .

Caso 2: Para $x=0$ tenemos $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$ que de nuevo da las infinitas soluciones $\lambda = (0, 0, \lambda_3)$ . Así que en este caso no tenemos ninguna base para $\mathbb{R}^3$ .

Respuesta:

Para $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$ los tres vectores forman una base de $\mathbb{R}^3$ .

Método B: Comprobación del determinante

$$\det A = \\ \left\vert \begin{array}{ccc} x & 1 & 0 \\ 0 & x & x \\ x+1 & 1 & -x \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{ccc} x & 1 & 0 \\ 0 & x & x \\ 1 & 0 & -x \end{array} \right\vert = x \left\vert \begin{array}{cc} x & x \\ 0 & -x \end{array} \right\vert - \left\vert \begin{array}{ccc} 0 & x \\ 1 & -x \end{array} \right\vert = -x^3 + x = -x(x^2 - 1)$$ que desaparece para $x \in \{ -1, 0 , 1 \}$ . Para estos $x$ no tenemos una solución única para $A\lambda = 0$ lo que significa que los vectores son linealmente dependientes y no forman ninguna base de $\mathbb{R}^3$ . Cualquier otro valor real dará lugar a una base.