Dado $f'(x)$ está estrictamente limitado por $1$ , $f(x)$ tiene al menos un punto fijo

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función diferencial tal que $f'(x)\leq r<1$ para todos $x\in \mathbb{R}$ . Entonces $f$ tiene al menos un punto fijo.

Lo que estoy considerando es $h(x)=f(x)-x$ entonces $h(x)$ es estrictamente decreciente, pero no entendí por qué va a golpear el eje x???

Answer 1

(Elaborando los comentarios a la pregunta:)

La función $h(x) = f(x) - x$ satisface $h'(x) \le r - 1 < 0$ . Así que $h$ no sólo disminuye, sino que lo hace con un cierto "ritmo mínimo".

Esta vaga formulación puede convertirse en una afirmación precisa utilizando la teorema del valor medio , que establece que para $x > 0$ $$ \begin{aligned} h(x) &= h(0) + (x-0) \, h'(t) \quad \text{for some } t \in (0, x) \\ &= f(0) + x \, h'(t) \\ &\le f(0) + x \, (r-1) \, . \end{aligned}$$ En particular, para cualquier $x \ge a := \dfrac{|f(0)|}{1-r}$ , $$ h (x) \le f(0) - |f(0)| \le 0 \, . $$ De manera similar se puede demostrar que para cualquier $x \le -a = \dfrac{|f(0)|}{r-1}$ , $$ h (x) \ge f(0) + |f(0)| \ge 0 \, . $$

Ahora se deduce de la teorema del valor intermedio que $h(c) = 0$ para algunos $c$ en el intervalo $[-a, a]$ . Así que $f$ tiene un punto fijo en este intervalo.

Answer 2

La idea es buena: tienes $h'(x)=f'(x)-1<0$ por lo que la función es estrictamente decreciente.

Ahora tienes que demostrar que $h$ asume valores positivos y negativos. Supongamos que no; o bien $f(x)>x$ por cada $x$ o $f(x)<x$ por cada $x$ .

Hagamos el primer caso; por el teorema de Lagrange se tiene, para $x>0$ , $$ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c) $$ para algunos $c\in(0,x)$ . Así, $$ f(x)=f'(c)x+f(0)>x $$ Reordenándolo, podemos escribir $$ f(0)>x(1-f'(c)) $$ para que, utilizando $f'(c)\le r$ , $$ f(0)>x(1-r) $$ por cada $x>0$ . Esto es, por supuesto, una contradicción.

Supongamos, en cambio, que $f(x)<x$ para cada $x$ . Entonces, para $x<0$ , $$ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(c) $$ así que $$ f(x)=xf'(c)+f(0)<x $$ que implica $f(0)<x(1-f'(c))$ . Desde $f'(c)\le r$ tenemos $1-f'(c)\ge1-r$ y así $x(1-f'(c))\le x(1-r)$ y por lo tanto $$ f(0)<x(1-r) $$ por cada $x<0$ una contradicción.

Answer 3

Teorema del punto fijo de Banach: el teorema del valor medio muestra que $|f(x) - f(y)| = |f'(c)||x-y|$ para algunos $c$ Así que $|f(x) - f(y)| \le r|x-y|$ . Así que aplique Teorema de Banach .