Caracterización de la topología discreta con subconjuntos compactos

Question

Si un conjunto está dotado de la topología discreta, entonces un subconjunto es compacto si es finito.

¿Es cierto lo contrario? Es decir, dado un espacio topológico de Hausdorff tal que todo subconjunto compacto es finito, entonces ¿es la topología necesaria discreta?

Answer 1

Lo contrario no es cierto. Consideremos el conjunto de funciones continuas $[0,1]\to \mathbb{R}$ en la topología de caja. $X$ es Hausdorff, y una secuencia $x_1,x_2,\ldots$ de puntos de $X$ converge si y sólo si es eventualmente constante mediante un argumento diagonal utilizando el hecho de que si dos funciones continuas difieren sólo en un número finito de puntos entonces son iguales. Por tanto, cualquier subconjunto infinito de $X$ no puede ser compacto porque existen secuencias de puntos en el conjunto sin subsecuencias convergentes. $X$ no es discreto porque los conjuntos de un punto no son abiertos.

Answer 2

También hay otro ejemplo, algo estándar, Espacio Arens .

Otro ejemplo es la compactación Stone-Cech de los enteros $\beta \Bbb N$ y tomar $x$ en el resto y considerar el espacio $X=\{x\}\cup \Bbb N$ . Se sabe que todo subconjunto compacto de $\beta \Bbb N$ puede ser finito o tener una cardinalidad $2^\frak c$ por lo que los subconjuntos compactos de $X$ debe ser finito.

Estos dos ejemplos no son generados de forma compacta, donde un espacio $X$ es generado de forma compacta, también llamado $k$ -espacio si satisface la siguiente condición: Un subespacio $A$ está cerrado en $X$ si y sólo si $A\cap K$ está cerrado en $K$ para todos los subespacios compactos $K\subseteq X$ .

Está claro que si $X$ a es de generación compacta Hausdorff y todos los subconjuntos compactos son finitos el $X$ tiene la topología discreta. La clase de los espacios generados de forma compacta incluye todos los espacios metrizables, así como todos los espacios contables en primer lugar, y todos los espacios localmente compactos.