Definición del producto interior

Question

He buscado la definición de producto interior y he visto que sólo debe satisfacer algunas condiciones (axiomas) y, por tanto, puede haber varias operaciones que representen un producto interior, una de las cuales es la multiplicación habitual, o el producto punto. La pregunta es: ¿por qué el producto interior de 2 funciones está definido por $\int f_1(x)f_2(x)dx$ ¿en qué se basa la elección de la operación? podría haber otras operaciones que satisfagan las condiciones del producto interior, ¿por qué esto?

Answer 1

En el espacio vectorial $V$ de funciones de valor real $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ (algunas variaciones son posibles, pero la esencia sigue siendo la misma) el producto interno estándar se define como usted describe. Es el estándar producto interno, no el único producto interno. La razón es que es una generalización natural del producto interior estándar sobre $\mathbb R^n$ que a su vez es una generalización natural del producto interior estándar sobre $\mathbb R^2$ , a saber $(x_1,x_2)\cdot (y_1,y_2)=x_1y_1+x_2y_2$ . Así que la pregunta se reduce a por qué se considera el producto interior estándar. Aquí es donde entra la geometría. La ley de los cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras que relaciona longitudes y ángulos entre vectores. Con más detalle, en un triángulo de longitudes de lado $a,b,c$ , uno tiene $c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)$ donde $\gamma$ es el ángulo opuesto a $c$ .

Ahora, usando Pitágoras para definir la longitud de un vector en $\mathbb R^2$ como es habitual, y luego al introducir las cosas en la ley de los cosenos se obtiene, tras algunas cancelaciones, una relación entre la suma de los productos de las componentes de los vectores, sus longitudes y el coseno del ángulo en lo que es precisamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Esto motiva la definición del producto interior estándar.

Answer 2

La historia del producto interior comenzó con el problema de recibir una función $f$ y tratando de determinar las constantes $a_{n}$ , $b_{n}$ tal que $$ f(x) = a_{0}+a_{1}\cos(x)+b_{1}\sin(x)+a_{2}\cos(2x)+a_{3}\sin(2x)+\cdots, \;\;\;\; 0 \le x \le 2\pi. $$ Esto surgió al resolver las vibraciones de una cuerda donde el desplazamiento inicial de la cuerda era $y=f(x)$ . Sorprendentemente, Euler y Clairaut descubrieron hacia 1775 que si se multiplicaba por una de las funciones $\{ 1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cdots\}$ e integrado sobre $[0,2\pi]$ todas las integrales de la derecha serían $0$ excepto la que tiene que ver con la función por la que has multiplicado. Esto dio una manera de aislar los coeficientes $a_{n}$ y $b_{n}$ . Este truco fue aprovechado por Fourier para resolver su ecuación del calor mediante la separación de variables. Fourier descubrió las condiciones de ortogonalidad para todo tipo de ecuaciones.

Las expresiones integrales ponderadas surgieron naturalmente en los trabajos de Fourier: $$ \int_{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx. $$ En la década de 1830, los problemas generales de Fourier con parámetro de valores propios $\lambda$ , coeficiente $p > 0$ y la función de peso positivo $w$ fueron estudiados por Sturm, Liouville y otros: $$ -\frac{d}{dx}\left(p\frac{df}{dx}\right)+qf = \lambda wf,\\ \cos\alpha f(a)+\sin\alpha f'(a) = 0,\\ \cos\beta f(b)+\sin\beta f'(b) = 0. $$ Se encontró que había una secuencia infinita de valores característicos reales $$ \lambda_{0} < \lambda_{1} < \lambda_{2} < \cdots $$ para las que las correspondientes soluciones no triviales $\{ f_{n}\}$ existiría. Y uno tendría automáticamente $$ \int_{a}^{b}f_{n}(x)f_{m}(x)w(x)dx = 0,\;\;\; n\ne m. $$ Eso permitió estudiar expansiones de Fourier generalizadas en las funciones propias $\{ f_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ . Este fue un área de investigación activa a partir de la década de 1820, especialmente el problema de cuándo las correspondientes expansiones de Fourier convergerían a la función original.

Así, en las primeras décadas del siglo XIX se estudiaban muchos tipos de condiciones de "ortogonalidad" integral. Cauchy había demostrado lo que ahora se llama la desigualdad Cauchy-Schwarz para el espacio euclidiano en la década de 1830, pero, por alguna razón, no se hizo ninguna conexión con las expresiones integrales análogas. No fue hasta la década de 1880, en un artículo de Schwarz, cuando se empezó a utilizar la llamada desigualdad general de Cauchy-Schwarz para las integrales, y eso allanó el camino para estudiar los productos internos generales a principios del siglo XX. La abstracción completa de tratar las funciones como puntos en un espacio, con ortogonalidad y distancia, parece deberse a Hilbert en la primera década del siglo XX. Así pues, lo que empezó como un tipo conveniente de condición integral de "ortogonalidad" para aislar los coeficientes de una serie de Fourier generalizada acabó dando lugar a los espacios generales de productos internos; la abstracción completa llevó más de un siglo.

La elección particular del producto interno tiene que ver con los tipos de expansiones ortogonales que se quieren hacer.