Demostrar que $P[X>\epsilon] \leq M(t)/e^{\epsilon t}$

Question

Demostrar que $P[X>\epsilon] \leq \dfrac{M(t)}{e^{\epsilon t}}$

Parece que la desigualdad de Markov, es muy fácil de derivar para $t>0$

$P[X>\epsilon] =P[Xt>\epsilon t]=[e^{Xt}>e^{\epsilon t}]\leq \dfrac{M(t)}{e^{\epsilon t}}$

Pero el enunciado del problema implica que esto es cierto para todo t. ¿Es esto cierto? Si lo es, ¿podría sugerir una forma de proceder para $t\leq0$ ?

Gracias por su tiempo.

Edición: nota que $M(t)=E[e^{Xt}]$

Edit2: se ha sustituido un error $X$ por $\epsilon$ en tres lugares

Answer 1

En general, esta desigualdad es no verdadero para $t <0$ . Consideremos la variable aleatoria constante $X=2$ , y establecer $\varepsilon=1$ . Entonces

$$\mathbb{P}[X>\varepsilon]=1$$

y

$$\frac{M(t)}{e^{\varepsilon t}} = \frac{e^{2t}}{e^t} = e^t.$$

Por lo tanto,

$$\mathbb{P}[X>\varepsilon] > \frac{M(t)}{e^{\varepsilon t}}$$

para $t<0$ .