Proceso de factorización en un anillo de polinomios

Question

Leyendo el libro "Field Theory" de S. Roman, en el capítulo $0$ He encontrado el siguiente problema:

Dejemos que $F$ sea un campo y consideremos el anillo de polinomios $F[x_1,x_2,\ldots]$ donde $x_i^2 = x_{i-1}$ . Demuestre que el proceso de factorización no tiene por qué detenerse en este anillo.

Estoy muy confundido con la pregunta porque no entiendo qué quiere decir el autor con "el proceso no tiene por qué detenerse".

Answer 1

Usted ha publicado una declaración incorrecta (revise su anillo, de nuevo), preguntó que el proceso de factorización no tiene que parar en el anillo $R=F[x_1,x_2,x_3,\ldots]$ tal que $x_i^2 = x_{i-1}$ .

Así que, ahora ve que en el ring $R$ ,

$x_1=x_2.x_2=x_3.x_3.x_3.x_3=\underbrace{x_4.x_4\dots x_4}_{8\ times}=\dots$ y así sucesivamente y nunca terminará. También como todos $x_i$ son irreducibles, por lo que no es un UFD y además la factorización nunca se detiene en él.