Lo que justifica la existencia de dos rvs independientes $\overline{X}$ y $\overline{Y}$ que tienen la misma distribución que algunos rvs $X$ y $Y$

Question

Lo que justifica la existencia de dos rvs independientes $\overline{X}$ y $\overline{Y}$ que tienen la misma distribución que algunos rvs $X$ y $Y$

En la prueba:

$X,Y$ son variables aleatorias independientes $\iff$ $E[\exp(i\langle (t,s),(X,Y)\rangle)]=E[\exp(i\langle t,X\rangle)]E[\exp(i\langle s,Y\rangle)](*)$

para el $\Leftarrow$ parte, he visto una prueba que utiliza el hecho de que existen variables aleatorias independientes $\overline{X}$ y $\overline{Y}$ con $X$ ~ $\overline{X}$ y $Y$ ~ $\overline{Y}$ .

Mi pregunta se refiere a por qué siempre es posible encontrar tales variables aleatorias independientes $\overline{X}$ y $\overline{Y}$ que siguen dicha distribución. A mí esta afirmación me parece muy rebuscada y me cuesta creer que siempre seamos capaces de construir tal $\overline{X}$ y $\overline{Y}$ . ¿Alguna intuición o prueba?

Answer 1

Considere el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},P)$ , donde $\Omega=\mathbb{R}^2$ , $\mathcal{F}$ son conjuntos de Borel de $\Omega$ y $P=P_X\otimes P_Y$ . Entonces dejemos que $\bar X=(s,t)=s$ y $\bar Y(s,t)=t$ para $(s,t)\in\Omega$ .