¿Enunciado geométrico de la evasión de primos?

Question

El teorema de la evasión del primo es muy fácil de enunciar en términos algebraicos:

Dejemos que $I \subset R$ sea un ideal (con $R$ noetheriano) y $I \subseteq \bigcup_{i=1}^r P_i$ donde cada $P_i$ es primo. Entonces $I \subseteq P_i$ para algunos $i$ .

¿Existe una forma agradable de replantear esto en términos geométricos? Tal y como están las cosas, tengo poca intuición (geométrica) para saber cuándo puede ser útil evitar los primos, en parte porque no tengo una buena imagen visual de esta afirmación. La parte extraña es $\bigcup P_i$ ya que no corresponde a un simple objeto geométrico.

Lo mejor que puedo hacer es:

Dejemos que $Y \subset X$ sea un subesquema, y supongamos que hay subesquemas integrales $\{Z_1, \ldots, Z_r\}$ tal que toda hipersuperficie $H \supseteq Y$ tiene $H \supseteq Z_i$ para algunos $i$ . Entonces $Y$ contiene algunos $Z_i$ .

Esto es básicamente afirmar la contención $I \subseteq \bigcup_{i=1}^r P_i$ elemento por elemento. Tal vez haya algo más sencillo (directamente en términos de $V(I)$ y $V(P_1), \ldots, V(P_r)$ )?

Answer 1

El contrapositivo tiene una buena interpretación geométrica. El enunciado algebraico es:

Si $I\nsubseteq \mathfrak{p}_{i}$ para cualquier $i$ entonces $I\nsubseteq \cup_{i} \mathfrak{p}_{i}$ es decir, hay algún $x\in I$ que no está en ninguno de los $\mathfrak{p}_{i}$ .

Consideremos ahora el esquema afín $X=\operatorname{Spec}R$ . Entonces $I\nsubseteq \mathfrak{p}_{i}$ para cualquier $i$ se traduce en $\mathfrak{p}_{i}\in X\setminus V(I)$ para todos $i$ . Es decir, los puntos $\mathfrak{p}_{i}$ están todos contenidos en el conjunto abierto $X\setminus V(I)$ . Lo que nos dice la evasión primaria es que ahora podemos encontrar un elemento $x\in I$ que no está en ninguno de los ideales primos $\mathfrak{p}_{i}$ lo que se traduce en decir que $$ \mathfrak{p}_{i} \in D(x)\subseteq X\setminus V(I)$$ Por tanto, si tenemos un número finito de puntos contenidos en un conjunto abierto de un esquema afín, siempre podemos encontrar un principal conjunto abierto que los contiene.

Referencia : Encontré esto en el Proyecto Stacks.