Encontrar soluciones de $Ax(t)= x'(t)$ por álgebra lineal

Question

Considere un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden con coeficientes reales. Podemos escribir las soluciones en forma vectorial: $Ax(t)= x'(t)$ donde $A$ es el $n \times n$ matriz de coeficientes.

Supongamos que $\lambda$ es un valor propio de $A$ con $\dim E_\lambda =1$ y la multiplicidad algebraica de $\lambda$ igual a $2$ .

Supongamos que $y(t) =te^{\lambda t}u +e^{\lambda t}v$ es una solución del sistema. Se me pide que demuestre que $u$ es un vector propio de $A$ correspondiente a $\lambda$ y que $v$ satisface $(A-\lambda I)v=u$ . Entonces se me pide que demuestre que es posible resolver para $v$ .

Sé que $\dim G_\lambda =2$ , donde $G_\lambda$ es el eigespacio generalizado de $A$ correspondiente a $\lambda$ .

Pero realmente no tengo ni idea de cómo proceder. (Incluso el enunciado del problema me confunde.) Agradecería alguna ayuda para entender cómo probar lo que quiero.

Answer 1

Continúa con tu conjetura $y(t) = te^{\lambda t}u + e^{\lambda t} v$ entonces sabemos que para que sea una solución debe satisfacer $\dot{y}(t) = Ay(t)$ . Introduciendo nuestra expresión para $y(t)$ en los regalos: $\lambda e^{\lambda t}v+e^{\lambda t}u + \lambda t e^{\lambda t}u = Ate^{\lambda t}u + Ae^{\lambda t} v$ . Reordena algunos términos y el truco quedará claro: \begin {align} &e^{ \lambda t}( \lambda v + u) = e^{ \lambda t} (Av) \iff (A- \lambda I)v=u \\ &te^{ \lambda t}(Au) = te^{ \lambda t}( \lambda u) \iff Au = \lambda u \end {align} Terminamos con nuestro vector propio deseado $u$ y un vector propio generalizado $v$ .

Answer 2

Supongamos que $y(t) = te^{\lambda t}u + e^{\lambda t}v$ es una solución de $y^\prime(t) = Ay(t)$ . Desde $$ y^\prime(t) = e^{\lambda t}u + t\lambda e^{\lambda t}u + \lambda e^{\lambda t}v = (1+t\lambda)e^{\lambda t}u + \lambda e^{\lambda t}v, $$ se deduce que $$ (1+t\lambda)e^{\lambda t}u + \lambda e^{\lambda t}v = te^{\lambda t}Au + e^{\lambda t}Av $$ para todos $t$ y, por tanto, dividiendo por $e^{\lambda t}$ que nunca es $0$ de verdad $t$ y la recaudación de los poderes de $t$ , lo consigues $$ (u+\lambda v - Av) + t(\lambda u-Au) = 0 $$ para todos $t$ que, si se quiere, es una igualdad de funciones vectoriales de $t$ .

1. ¿Qué se aprende al establecer $t = 0$ en la ecuación anterior?
2. ¿Qué se aprende al diferenciar ambos lados con respecto a $t$ en la ecuación anterior?
3. Volviendo a la expresión $y(t) = te^{\lambda t}u + e^{\lambda t}v$ ¿Qué sucede si se conecta $t = 0$ ? En particular, ¿puede resolver $v$ en función del valor inicial $y(0)$ ?