Estoy repasando un tutorial en mi curso de análisis real. Hay una una prueba en la que no entiendo algunas partes.
La prueba está relacionada con la siguiente proposición:
( S - infinito σ -álgebra en X ) ⟹ S es incontable.
Prueba :
Supongamos: S={Ai}+∞i=1 . ∀x∈X:Bx:=∩x∈AiAi . [Nota: Bx∈S ⟸ ( Bx - intersección contable].
Lema : Bx∩By≠∅⟹Bx=By .
Prueba (del lema):
z∈Bx∩By⟹Bz⊆Bx∩By .
1. x∉Bz⟹x∈Bx∖Bz∧Bx∖Bz⊂S∧Bx∖Bz⊂Bx (contradicción: definición de Bx ) ⟹ Bz=Bx
2. y∉Bz⟹y∈By∖Bz ∧ By∖Bz⊂S ∧ By∖Bz⊂By (contradicción: definición de By ) ⟹ Bz=By ⟹Bx=By ◻
Considera: {Bx}x∈X . Si: existen conjuntos finitos de la forma Bx entonces: S es la unión de un número finito de conjuntos disjuntos ⟹ S es finito ⟹ hay un número infinito de conjuntos de la forma Bx . ⟹ |⋃i∈A⊆NBxi|≥ℵ0 .(contradicción) ◻
Hay un par de cosas que no entiendo en esta prueba:
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Por qué el hecho de encontrar un conjunto ( Bx∖Bz ) en S que contiene x y está estrictamente contenida en Bx una contradicción ?
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Por qué si sólo hay un número finito de conjuntos diferentes de la forma Bx entonces S es la unión de un número finito de conjuntos disjuntos conjuntos y es finito?
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Puede resultarle útil pensar en el caso de que el σ -Álgebra S separa los puntos; es decir, para cada x,y∈X existe A∈S con x∈A , y∉A . En este caso, Bx={x} y el problema se reduce a demostrar que la discreta σ -sobre un conjunto infinito es incontable.
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Esta es la prueba más fácil de entender que he encontrado en este sitio, ¡gracias!
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¿Dónde has encontrado esta prueba? Estoy buscando recursos para acompañar el libro de Bass
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¿Qué es el ' ∧ ¿Símbolo aquí?
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@Belgi No entiendo la afirmación en 1. Por ejemplo, ¿qué es S∧x ?
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∧ significa "Y", así que léalo como Bx∖Bz⊂S y x∈Bx∖Bz y Bx∖Bz⊂S .