Escribamos $p: G\to H$ , $p':G'\to H'$ , $k:K\to G$ y $k':K'\to G'$ para las filas no etiquetadas de su diagrama.
Supongamos que $g$ está en el núcleo de $\beta$ (para que $\beta(g)=1$ ), demostraremos que $g=1$ . Tenemos $1=p'(\beta(g))=\gamma (p(g))$ y así $p(g)=1$ desde $\gamma$ es un isomorfismo. Como la fila superior es exacta, se deduce que existe $x$ en $K$ tal que $k(x)=g$ . Tenemos $k'(\alpha(x)) = \beta(k(x))=\beta(g)=1$ y por lo tanto $x=1$ desde $\alpha$ es un isomorfismo y $k'$ es un monomorfismo. Por lo tanto, $g=k(1)=1$ y así $\beta$ es un monomorfismo.
Supongamos ahora que $g'$ es un elemento de $G'$ demostraremos que hay un elemento en $G$ que es mapeado por $\beta$ a $g'$ . Desde $\gamma$ es un isomorfismo y $p$ es suryente se deduce que existe $g_1$ en $G$ tal que $\gamma(p(g_1)) = p'(g')$ . De ello se desprende que $p'(g' \beta(g_1)^{-1})=p'(g')p'(\beta(g_1))^{-1}=p'(g')\gamma(p(g_1))^{-1} =p'(g')p'(g')^{-1}=1$ y por lo tanto, como la fila inferior es exacta, hay $x'$ en $X'$ tal que $k'(x')=g'\beta(g_1)^{-1}$ . Pero como $\alpha$ es un isomorfismo, hay $x$ en $X$ tal que $\alpha(x)=x'$ . Tenemos $\beta(k(x)g_1) = \beta(k(x))\beta(g_1)=k'(\alpha(x))\beta(g_1)=k'(x)\beta(g_1)=g'\beta(g)^{-1}\beta(g)=g'$ . Esto demuestra que $\gamma$ es suryente.
De hecho, es más cierto:
(a) Si $\alpha$ y $\gamma$ son monomorfismos, entonces también lo es $\beta$ .
(b) Si $\alpha$ y $\gamma$ son suryentes, entonces también lo son $\beta$ .
A un nivel ligeramente superior se puede demostrar que para cualquier variedad de álgebras universales que tengan una sola constante $e$ . El lema de los cinco cortos se cumple si y sólo si para algún número naturista $n$ hay $n$ términos binarios $s_i(x,y)$ y una $n+1$ -término secundario $p(x_1,...,x_{n+1})$ tal que $s_i(x,x)=e$ $p(s_1(x,y),s_2(x,y),...,s_n(x,y),y)=x$ . Para los grupos $n=1$ , $s_1(x,y)=xy^{-1}$ y $p(x,y)=xy$ .
