¿Es una función analítica en C si su transformada de Fourier desaparece para frecuencias negativas?

Question

Creo que la fórmula integral de Cauchy y la transformada de Hilbert pueden utilizarse para demostrar una dirección, pero ¿es esto una equivalencia o sólo una implicación?

editar para aclararlo: ¿Es una función $f : \mathbb C \to \mathbb C, z\mapsto f(z)$ analítica $\Leftrightarrow$ La transformación de Fourier $\mathcal F\{f\}(\omega) = N \int_{\mathbb R} f(z) e^{i\omega z} dz$ (elija cualquier normalización $N$ que te guste, yo prefiero la simetría $N=\sqrt{2\pi}$ ) es cero para todo $\omega<0$ ?

O más corto: ¿Es cierto lo siguiente? $f$ analítica $\Leftrightarrow$ $\mathrm{supp}_{\mathcal F\{f\}}=\mathbb R^+$

Answer 1

Según mi experiencia, la mayoría de las veces el MDE se utiliza como término genérico para los MDS y los MDT. Creo que esta imagen de Wikipedia describe bien las diferencias entre los MDS y los MDT:

• DSM = superficie (terrestre), incluidos los objetos que se encuentran en ella
• MDT = superficie (terrestre) sin objetos

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Una definición diferente se encuentra en [Li et al., DIGITAL TERRAIN MODELING - Principles and Methodology]:

El MDE es un subconjunto del MDT y el componente más fundamental del MDT.

En la práctica, estos términos (DTM, DEM, DHM y DTEM) suelen ser sinónimos son sinónimos y, de hecho, así es a menudo. Pero a veces se refieren a productos a productos diferentes. Es decir, puede haber ligeras diferencias entre estos términos. Li (1990) ha realizado un análisis comparativo de estas diferencias de la siguiente manera:

1. Tierra : "la superficie sólida de la tierra"; "una base o fundamento sólido"; "una superficie de la tierra"; "fondo del mar"; etc.
2. Altura : "medida de la base a la cima"; "elevación sobre el suelo o nivel reconocido nivel, especialmente el del mar"; "distancia hacia arriba"; etc.
3. Elevación : "altura sobre un nivel determinado, especialmente el del mar"; "altura sobre el horizonte"; etc.
4. Terreno : "extensión de terreno considerada en cuanto a sus características naturales, etc."; "una extensión de terreno, región, territorio"; etc.

Answer 2

No estoy seguro de haber entendido bien tu pregunta, pero según entiendo la respuesta es no. Sigamos con la transformada de Fourier como operador $L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R})$ . Uno de los hechos básicos de la transformada de Fourier es que las funciones con soporte compacto se transforman en funciones analíticas. Así que como contraejemplo basta con elegir la función característica de $[-1,1]$ . Su transformada de Fourier es analítica pero ciertamente tiene "frecuencias negativas", es decir, tiene frecuencias en casi todo el intervalo $[-1,1]$ .

Edición: Para hacer esto más explícito: Que $f := \hat \chi_{[-1,1]}$ . Entonces $f$ es analítica (de hecho, utilizamos la definición $\hat u(\xi) = \int e^{i\xi x} f(x) d x$ entonces $f(\xi)=2 \sin \xi / \xi$ (y $f(0)=2$ ), que es analítica). Por el teorema de inversión de Fourier, $\hat f(x)=\hat{\hat \chi}_{[-1,1]} (x)=2\pi \chi _{[-1,1]}(-x)$ cuyo apoyo es $[-1,1]$ . Así que $f$ es un contraejemplo de su afirmación.

Answer 3

Puedes consultar el teorema 19.2 del libro de Walter Rudin. Supongamos que f es una función holomorfa en el semiplano superior. Si $\sup_{0<y<\infty}\int|f(x+iy)|^2dx=c<\infty$ . Entonces f es la transformada inversa de Fourier de una función soporte en $[0,\infty)$