Demostrar que la línea $\textbf{l}$ tangente a una cónica $C$ en un punto $\textbf{x}$ en C viene dada por $\textbf{l}=C\textbf{x}$ . La ecuación de una cónica en forma de matriz se define como $\textbf{x}^TC\textbf{x}=0$ .
La prueba en el libro de texto dice:
La línea $\textbf{l}=C\textbf{x}$ pasa a través de $\textbf{x}$ ya que $\textbf{l}^T\textbf{x}=\textbf{x}^TC\textbf{x}=0$ . Si $\textbf{l}$ tiene un contacto de un punto con la cónica, entonces es una tangente, y hemos terminado. En caso contrario, supongamos que $\textbf{l}$ se encuentra con la cónica en otro punto $\textbf{y}$ . Entonces $\textbf{y}^TC\textbf{y}=0$ y $\textbf{x}^TC\textbf{y}=\textbf{l}^T\textbf{y}=0$ . De ello se deduce que $(\textbf{x}+\alpha \textbf{y})^TC(\textbf{x}+\alpha \textbf{y})=0$ para todos $\alpha$ lo que significa que toda la línea $\textbf{l}=C\textbf{x}$ unirse a $\textbf{x}$ y $\textbf{y}$ se encuentra en la cónica C, que por tanto es degenerada.
Lo que me confunde es dónde está esto:
De ello se deduce que $(\textbf{x}+\alpha \textbf{y})^TC(\textbf{x}+\alpha \textbf{y})=0$ para todos $\alpha$
viene, ¿por qué es cierta esta afirmación? No entiendo cómo la frase anterior implica esto.
