Las curvas que no son universalmente cerradas son afines (Hartshorne IV.1.3)

Question

Estoy trabajando en el ejercicio IV.1.3 en Hartshorne:

Dejemos que $X$ sea un esquema integral, separado, regular y unidimensional de tipo finito sobre $k$ que no es propio sobre $k$ . Prueba $X$ es afín.

En otras palabras, $X$ satisface todas las hipótesis de una curva abstracta excepto que no es universalmente cerrada sobre $k$ .

La insinuación de Hartshorne es la de incrustar $X$ en una curva proyectiva $\overline{X}$ . Estoy asumiendo que uno debe incrustar $X$ en el espacio proyectivo y luego tomar el cierre. Pero, ¿por qué debería existir tal incrustación?

Answer 1

Si no quieres usar la compactación de Nagata, puedes usar el espacio de Riemann-Zariski del capítulo I, §6 como compactación. El problema es que hay que jugar un poco con el functor $t\colon \mathfrak{Var}(k) \to \mathfrak{Sch}(k)$ . Esto puede resolverse probablemente permitiendo que la valoración trivial aparezca en la definición del Cap. I, §6, que corresponde al punto genérico, y así no tendríamos que salir del mundo de los esquemas. Por conveniencia, sin embargo, nos limitaremos a comprobar que todo funciona correctamente cuando el functor $t$ se aplica.

Nótese que esto no funciona en dimensión superior, ya que el espacio de Riemann-Zariski (incluso para una superficie) da más puntos que los del esquema; véase Exc. II.4.12.

Lema. Dejemos que $X$ sea un esquema integral, separado, regular y unidimensional de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de dimensión uno. Entonces, $X$ es puede identificarse con un subconjunto abierto de una curva proyectiva sobre $k$ .

Prueba. Queremos demostrar que $X$ es isomorfo a $t(U)$ , donde $U$ es un subconjunto abierto de $C_K$ la curva abstracta no singular de (cap. I, §6), y $t$ es el functor de la Prop. II.2.6; entonces habríamos terminado, ya que $C_K$ es proyectiva por Thm. I.6.9, por lo que $t(C_K)$ es proyectiva por la proposición II.4.10. Dado que el functor $t$ es totalmente fiel, basta con mostrar $X(k)$ es isomorfo a algún subconjunto abierto subconjunto $U$ de $C_K$ .

En el ejercicio II.4.5( a ), vemos que todo anillo de valoración discreta de $K/k$ tiene un centro único en $X$ si existe un centro. Dado que los anillos locales de $X$ en los puntos cerrados son todos DVR, esto implica que $X(k)$ está en correspondencia 1-1 con un subconjunto de los DVR's de $K/k$ , es decir, un subconjunto $U$ de los puntos de $C_K$ . Este subconjunto $U$ está abierto siguiendo la prueba de la Prop. I.6.7.

Por lo tanto, hemos demostrado que $U$ es un subconjunto abierto de $C_K$ queda por demostrar demostrar que $X(k)$ es isomorfo a $U$ . Basta con demostrar que las gavillas de funciones regulares son las mismas, ya que las topologías son ambas la topología del complemento finito, y están en bijection to each other by the previous paragraph. Pero esto se deduce de la definición de función regular en $C_K$ en la página 42, ya que para cada uno de los $V \subset X(k)$ tenemos $$ \mathcal{O}_{X(k)}(V) = \bigcap_{P \in V} \mathcal{O}_{X(k),P} = \mathcal{O}_{C_K}(V). \tag*{$\blacksquare$} $$

Answer 2

Hay un comentario en la página 105, número 4.10.2, que incluye la mención de un trabajo de Nagata que demuestra que cada variedad $X$ puede incrustarse como un subconjunto abierto y denso de una variedad completa $\overline X$ . Utilizando los resultados del capítulo I.6, sobre todo el teorema 6.9, se puede deducir que $\overline X$ es realmente proyectiva.