Acertijo tipo Zenón con una complicación adicional: Corredor con perro corriendo de un lado a otro a diferentes velocidades

Question

Me encontré con este pequeño acertijo:

Un corredor aficionado se entrena en una pista de 1 250 m de longitud a una velocidad de $v_L = 2 m/s$ . Su perro corre hacia delante hasta el objetivo, se da la vuelta y vuelve a correr hacia él, luego vuelve a correr hacia el objetivo, vuelve, etc. Su velocidad es cuando corre hacia adelante $v_H = 5 m/s$ y al correr de vuelta (por el viento en contra) $v_Z = 4 m/s$ . Calcula la distancia recorrida por el perro.

Es un poco como Las paradojas de Zenón pero con la complicación adicional de que aquí el perro va y viene a diferentes velocidades.

¿Podría alguien dar algunas pistas sobre cómo abordar elegantemente el problema o referencias donde se pueda encontrar una solución (quizás este acertijo tenga incluso un nombre común con el que se pueda encontrar en la literatura)? Gracias.

Answer 1

Una variación del clásico enfoque elegante funciona. El corredor tomará $625$ segundos para completar el recorrido. El perro tomará $250$ segundos para el primer tramo. Después de eso, el perro promedia $\frac{2}{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}}=\frac{40}{9} \frac{m}{sec}$ y puedes aplicar el enfoque habitual. Los puntos principales son: 1) utilizar la media armónica para hallar la velocidad media, ya que estás promediando sobre distancias comunes 2) después del primer tramo, el perro hace viajes de ida y vuelta para que puedas promediar la velocidad. Como el perro hace viajes de ida y vuelta para $375$ segundos, cubre $375*\frac{40}{9}=1666\frac{2}{3}$ metros en ese tiempo, lo que sumado a la $1250$ ya lo hizo hace $2916\frac{2}{3}$ metros en total.

Añadido después del comentario a la respuesta de Tim van Beek: la versión clásica tiene el perro a una sola velocidad, digamos $5$ m/seg. Entonces la respuesta simple viene del corredor que toma $625$ segundos, por lo que el perro viaja $625*5=3125$ metros. La respuesta compleja es sumar la serie infinita de tramos recorridos por el perro. El primer tramo es $1250$ metros, tras los cuales el corredor ha recorrido $250$ metros. Así que el perro vuelve corriendo $\frac{5}{7}$ de $1000$ metros y vuelve al final. Entonces se calcula el siguiente tramo del perro. Es una serie geométrica que puedes sumar.

Answer 2

Este es un problema muy famoso, hay una forma difícil de resolverlo (formular una suma infinita y calcular a qué converge) y una forma muy fácil de hacerlo (pensar como un físico y aplicar la relación velocidad = camino por tiempo).

He oído la anécdota de que un psicólogo se dio cuenta de que los matemáticos siempre lo hacían de la manera difícil y necesitaban varios minutos para resolver el rompecabezas, mientras que los físicos siempre lo hacían de la manera fácil y sólo necesitaban segundos. Cuando le pidió a John von Neumann que resolviera el rompecabezas, éste respondió en segundos. El psicólogo preguntó: "Pero usted es un matemático, ¡se supone que debe hacerlo de la manera difícil y evaluar la suma!" von Neumann respondió: "Eso es lo que hice..."