Si $\kappa$ es ineffable, entonces no hay un árbol de Kurepa de $\kappa$.

Question

Entonces, este es un ejercicio ($4.25$) del libro de Ralf Schindler, y tengo algunas dificultades con él.

Esta es la afirmación:

(Jensen-Kunen) Muestra que si $\kappa$ es inefable, entonces no hay un árbol $\kappa$-Kurepa.

Por lo tanto, naturalmente, después de pensar en esto por algún tiempo, decidí echar un vistazo a la solución para obtener una pista.

Primero encontré esto en la página web de Assaf Rinot. Pero allí él demuestra esto para árboles $\kappa$-Kurepa delgados. Luego intenté encontrar el artículo principal donde Jensen y Kunen lo probaron por primera vez. Pero todo lo que encontré fue un manuscrito no publicado en la página web de Jensen, que fue extremadamente difícil de leer para mí y incluso allí parece que el resultado se demuestra también para árboles $\kappa$-Kurepa delgados, aunque no lo mencionan.

Esto es un enlace a la página web de Jensen. El documento no publicado se llama "Algunas propiedades combinatorias de $L$ y $V$". El resultado está en la página $26$ del segundo capítulo, es el teorema $9$.

Entonces mi pregunta es: ¿Es correcta la afirmación anterior para árboles $\kappa$-Kurepa generales? Si es así, ¿cómo se demostraría?

Answer 1

Tenga en cuenta que cada vez que $\kappa$ es un cardinal límite fuerte (y, por supuesto, los cardinales inefables son límites fuertes) hay un árbol $\kappa$-Kurepa, a saber, el árbol binario completo de altura $\kappa$, donde por árbol $\kappa$-Kurepa me refiero a un árbol de altura $\kappa$, tal que todos los niveles tienen tamaño $<\kappa$ pero el árbol tiene al menos $\kappa^+$ ramas.

Entonces, o el libro de Schindler tiene la condición de delgadez en la definición de un árbol $\kappa$-Kurepa o el ejercicio tiene un error tipográfico, pero no estoy familiarizado con el libro así que no puedo decirlo. Veo que ya encontraste una prueba del hecho de que si $\kappa$ es inefable entonces no hay un árbol $\kappa$-Kurepa delgado, también puedes ver teorema 2.6 aquí, este pdf también parece cubrir más de los resultados contenidos en las notas manuscritas de Jensen si estás interesado.