Pregunta sobre el principio de Fermat

Question

¿Por qué al derivar la ley de reflexión a partir del principio de Fermat del tiempo menos, yo establezco $dL/dx = 0$? Soy un estudiante de 12° grado con pocas nociones de máximos y mínimos en cálculo de una variable.

Answer 1

Veamos este problema(1) en el caso más general de una partícula moviéndose con velocidad constante $\:\upsilon$ ($c\:$ en caso de la luz): encontrar el camino con el menor tiempo de viaje desde el punto $\:\rm{A}\:$ hasta el punto $\:\rm{B}\:$ a través de un toque (punto $\:\rm{C}$) en una superficie plana (espejo en el caso de la luz) como se muestra en la Figura 01.

Ahora, elijamos al azar un punto $\:\rm{C}\:$ en el espejo y permitamos que el camino sea $\:\rm{ACB}\:$. Para el tiempo total a través del punto $\:\rm{C}\:$ tenemos
\begin{equation} t=t_{\alpha}+t_{\beta}=\dfrac{L_{\alpha}+L_{\beta}}{\upsilon}=\dfrac{L}{\upsilon} \tag{01} \end{equation} Así, el camino de menor tiempo es el camino de menor longitud.

Determinemos cómo cambia este tiempo total, es decir, la longitud total, si desplazamos el punto $\:\rm{C}\:$ hacia la derecha en $\:\Delta x\:$ en el punto $\:\rm{D}$, vea la Figura 01. Para un desplazamiento infinitesimal $\:\mathrm{CD}=\Delta x\:$ se pueden hacer las siguientes aproximaciones: \begin{equation} \mathrm{AF}\approx \mathrm{AC}=L_{\alpha}\,,\quad \alpha'\approx \alpha \,,\quad\mathrm{BE}\approx \mathrm{BD}=L_{\beta}\,,\quad \beta'\approx \beta \tag{02} \end{equation} El nuevo tiempo total y longitud son \begin{equation} t'=t'_{\alpha}+t'_{\beta}=\dfrac{L'_{\alpha}+L'_{\beta}}{\upsilon}=\dfrac{L'}{\upsilon} \tag{03} \end{equation> entonces \begin{equation} \Delta t=t'-t=\left(t'_{\alpha}+t'_{\beta}\vphantom{\frac12}\right)-\left(t_{\alpha}+t_{\beta}\vphantom{\frac12}\right)=\dfrac{\left(L'_{\alpha}+L'_{\beta}\vphantom{\dfrac12}\right)-\left(L_{\alpha}+L_{\beta}\vphantom{\dfrac12}\right)}{\upsilon}=\dfrac{\Delta L}{\upsilon} \tag{04} Desde el detalle mostrado en la Figura 02 \begin{equation} \Delta L=\Delta L_{\alpha}-\Delta L_{\beta}=\Delta x\left(\sin\alpha-\sin\beta\right) \tag{05} es decir \begin{equation> \boxed{\color{blue}{\:\Delta L=\Delta x\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)\:\vphantom{\frac12}}} \tag{06} De la ecuación (06) concluimos que:

1. Si $\:\color{blue}{\Delta L>0}\:$ entonces el desplazamiento del punto $\:\rm{C}\:$ por $\:\Delta x >0\:$ (hacia la derecha) da mayores longitudes o tiempos, por lo que debemos buscar longitudes más pequeñas desplazamientos $\:\Delta x <0\:$.
2. Si $\:\color{blue}{\Delta L<0}\:$ entonces el desplazamiento del punto $\:\rm{C}\:$ por $\:\Delta x >0\:$ (hacia la derecha) da longitudes o tiempos más pequeños, por lo que debemos continuar desplazamientos hacia la derecha para minimizar la longitud total.

Concluimos que para minimizar la longitud total, es decir, el tiempo total, debemos llegar a una condición tal que, ya sea moviéndonos a la derecha o a la izquierda, la tasa de cambio de la longitud $\:\Delta L\:$ por unidad de desplazamiento $\:\Delta x\:$ sea infinitesimalmente cero \begin{equation> \bbox [0.5mm, border: 0.8mm solid blue;]{ \bbox [2mm, border: 0.5mm solid red;]{\:\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\sin\alpha-\sin\beta=0\:\vphantom{\tfrac12^{\tfrac12}_{\tfrac12}}}} \tag{07} derivar la ley de reflexión: $\:\sin\alpha=\sin\beta\:$.

La ecuación (07) expresada con diferenciales es \begin{equation> \boxed{\color{blue}{\:\dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} x}=0\:\vphantom{\dfrac12^{\tfrac12}_{\tfrac12}}}} \tag{08}

---

Cálculo Diferencial

---

Geometría

---

(1) Encontrarás un problema similar para derivar la Ley de Snell de la refracción sin cálculo diferencial (debido a Feynman) en mi respuesta aquí:¿Por qué se debe seguir la ley de Snell para el menor tiempo?.

Answer 2

DL/dx significa la tasa a la cual la longitud (L) está cambiando a medida que la posición del punto de reflexión (x) cambia. Para aplicar el principio de Fermat, quieres minimizar L (Dado que la velocidad de la luz es constante, para minimizar el tiempo debes minimizar la distancia.)

Ahora imagina dibujar un gráfico. Coloca x en el eje horizontal y L en el eje vertical. Para cualquier valor de x que puedas calcular, traza un valor de L. El gráfico se parece aproximadamente a la letra "U", ya que en un valor de x en el medio, el valor de L se minimiza. La pendiente en el punto mínimo es cero.

Para valores pequeños de x, aumentar x hace que L disminuya, por lo que para valores pequeños de x dL/dx es negativo. Para valores más grandes de x, aumentar x hace que L aumente, dL/dx es positivo. En el punto mínimo, dL/dx cambia de positivo a negativo, por lo que en el punto mínimo dL/dx es igual a cero.

Por lo tanto, puedes encontrar el valor de x calculando una expresión para dL/dx y luego resolviendo dL/dx = 0.