$E/L$ , $L/K$ normal entonces $E/K$ normal

Question

Tengo que decidir si la siguiente afirmación es cierta:

Si $E/L$ , $L/K$ son normales, entonces $E/K$ es normal

He pensado en esta prueba pero no sé si es correcta, ¿alguien podría ayudarme?

Dejemos que $p(x) \in K[x]$ y que $\alpha \in E$ sea una raíz de $p(x)$ . Si $\alpha \in L$ luego todas las demás raíces de luego todas las demás raíces de luego todas las demás raíces de $p(x)$ están en $L$ (porque $L/K$ es normal) y por lo tanto también están en $E$ . Así, $E/K$ es normal. Si $\alpha \notin L$ entonces también podemos ver $p(x) \in K[x]$ como un polinomio en $L[x]$ . Si $p(x) \in L[x]$ tiene una raíz $\alpha \in E$ entonces todas sus otras raíces están también en $E$ porque $E/L$ es normal. Por lo tanto, $E/K$ es normal

Answer 1

La afirmación es falsa: Considere $K = \mathbb{Q}$ , $L = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ y $E = \mathbb{Q}[\sqrt[4]{2}]$ .

De hecho, en este caso tenemos $E/L$ y $L/K$ son de grado 2 y, por tanto, son automáticamente extensiones de Galois. Sin embargo, $E/K$ no es normal, ya que $x^4 - 2$ tiene una raíz en $E$ pero no se divide por completo.