Los números terminan en 78

Question

Definir $f(n)=(2n)^2 + 1,n \in \mathbb{N}$

Desde $1$ a $10^7$ hay $15$ números que $f(n)$ es primo, $f(f(n)), f(f(f(n)))$ y $f(f(f(f(n))))$ también son primos.

El $15$ números son:

625678, 704613, 717718, 1182168, 3147353, 
4869813, 5339178, 5363578, 5411562, 846777, 
7848283, 7970403, 8152962, 9220303, 9727978 

¿Es eso normal? $4$ números en este $15$ los números terminan en $78$ ?

Answer 1

Hay $40$ posibles dos dígitos finales -los que terminan $2, 3, 7$ y $8$
La posibilidad de que uno de los $40$ aparece cuatro veces es $$40{15\choose4}0.025^40.975^{11}=0.016$$
Así que es un poco sorprendente, pero no si has hecho media docena de estas funciones. También hay otras cosas que podrían haberte llamado la atención si los números hubieran salido de otra manera, por ejemplo, varios muy juntos.

Answer 2

Para ampliar mi comentario, aquí están los 15 primeros valores de f(n):

$$5,17,37,65,101,145,197,257,325,401,485,577,677,785,901$$ Debido a la simetría para ciertos primos (los congruentes con $1 \bmod 4$ ), esto puede probar los hasta 29 (posiblemente más alto) si usted hace mod estos por esos primos ( $5,13,17,29$ ) se obtienen las siguientes secuencias (respectivamente): $$0,2,2,0,1,0,2,2,0,1,0,2,2,0,1$$ $$5,4,11,0,10,2,2,10,0,11,4,5,1,5,4$$ $$5,0,3,14,16,9,10,2,2,10,9,16,14,3,0$$ $$5,17,8,7,14,0,23,25,6, 24, 21, 26, 10, 2, 2$$ que no se permite: $$1,4\bmod 5$$$$4,9\bmod 13$$$$2,15\bmod 17$$$$6,23\bmod 29$$ como valores de inicio( de hecho, en el mejor de los casos valores de iteración final si 1 más de un residuo cuadrático), continuando obtenemos: $$0\bmod 5$$$$2,11\bmod 13$$$$8,9\bmod 17$$$$ 8,10,19,21\bmod 29$$ como ilegal antes de la penúltima iteración : $$1,4\bmod 5$$$$3,6,7,10\bmod 13$$$$6,11\bmod 17$$$$3,11,13,16,18,26\bmod 29$$ para la tercera última iteración. Tomando el complemento, de la unión, para cada primo; obtenemos: $$2,3\bmod 5$$$$0,1,5,8,12\bmod 13$$$$0,1,3,4,5,7,10,12,13,14,16\bmod 17$$$$0,1,2,4,5,7,9,12,14,15,17,20,22,24,25,27,28\bmod 29$$ En resumen, sólo 2 residuos mod 5, 5 residuos mod 13, 11 residuos mod 17 y 17 residuos mod 29 sobreviven como posibles residuos de inicio, para 1870 residuos (error de cálculo corregido en la edición, es decir, menos del 5,9% de las clases de residuos) mod su producto (32045) y 20 veces su producto es un múltiplo de 100 por lo que puede ir de allí.

EDITAR

Resulta que es tan probable como cualquier otro final a través de esto, sólo parece estar recibiendo aproximadamente 1 cada múltiplo de 640900. podría tener que ver con la colocación en múltiplos de 640900 si alguno de estos números fuera divisible por un primo que es de la forma $4x+3$ , obtenemos que sea divisible por un número par de ellos. Cualquier final que sea 0 mod 3, aparece sólo si 640900 no se multiplica por un múltiplo de 3, y los finales de dos dígitos que no son cero no se producen cuando 640900 se multiplica por su inverso aditivo mod 3. Tal vez algunos multiplicadores son simplemente más densos en los valores de trabajo, cuando se consideran otros factores.