Así que mi libro de texto tiene una prueba específica del teorema de Erdos y Szekeres
Suponemos que no existe una subsecuencia creciente de longitud $n + 1$ y demostrar que debe existir una subsecuencia decreciente de longitud $n + 1$ . Para cada $k = 1,2, ... ,n^2 + 1$ dejar $m_k$ sea la longitud de la subsecuencia creciente más larga que comienza con $a_k$ . Supongamos que $m_k\leq n$ para cada $k = 1,2, ... ,n^2 + 1$ para que no exista una subsecuencia creciente de longitud $n + 1$ . Desde $m_k \geq 1$ para cada $k = 1,2, ... ,n^2 + 1$ los números $m_1, m_2, ... , m_{n^2+1}$ son $n^2 + 1$ enteros cada uno entre 1 y $n$ . Por la forma fuerte del principio de encasillamiento, $n + 1$ de los números $m_l, m_2, . .. , m_{n^2+1}$ son iguales. Sea $m_{k_{1}} = m_{k_{2}} = ... = m_{k_{n+1}}$ , donde $1\leq k_1<k_2<...<k_{n+1}\leq n^2+1$
Mi pregunta es cómo se puede utilizar el principio de encasillamiento fuerte para decir que $n+1$ las subsecuencias crecientes son iguales. Según el principio de encasillamiento si tenemos enteros positivos $q_1, q_2, ..., q_p$ y distribuimos $q_1+q_2+...+q_p-p+1$ objetos, entonces la primera caja tiene al menos $q_1$ objetos, o la segunda caja tiene al menos $q_2$ etc. También lo hacen las longitudes de las secuencias $m_1, m_2,..., m_{n+1}$ coinciden con el $q_1, q_2, ..., q_p$ enteros.
Tengo problemas para ver qué son los objetos y qué son las cajas. Inicialmente pensé que los objetos serían las secuencias, pero tengo problemas para averiguar qué son las cajas en ese escenario.
