Ejemplo de variables aleatorias independientes de pares pero no conjuntamente independientes?

Question

Se me pide que:

Encuentre una distribución de probabilidad conjunta <span class="math-container">$P(X_1,\dots, X_n)$</span> de tal forma que <span class="math-container">$X_i , \, X_j$ are independent for all <span class="math-container">$i \neq j$</span>, but <span class="math-container">$(X_1, \dots , X_n)$</span> son no es conjuntamente independiente.</span>

No tengo idea de por dónde empezar, por favor ayuda.

Answer 1

Siempre recuerdo este claro ejemplo de Probability Essentials, capítulo 3, de J.Jacod & P.Protter.

Deje que $\Omega = {1,2,3,4}$, y $\mathscr{A} = 2^\Omega$. Deje que $P(i) = \frac{1}{4}$, donde $i = 1,2,3,4$.

Deje que $A = {1,2}$, $B = {1,3}$, $C = {2,3}$. A continuación, A,B,C son independientes por pares, pero no son independientes.