Demostrar desigualdad$\sum\limits_{n|i+j+k}x_{i}y_{j}z_{k}\le n^2$

Question

Se le da un entero $n\ge 2$, y $x{i},y{i},z{i}\in \mathbb{R}$($i=1,2,\cdots,n$) de tal forma que$$\sum{i=1}^{n}(x^3{i}+y^3{i}+z^3{i})=3n $$mostrar que$$ \sum{i+j+k=n}x{i}y{j}z_{k}\le n^2.$$

Sé $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$ si $a+b+c\ge 0$.

Answer 1

Si asumes que $x_i\geq 0$ comienza con $3x_i y_j z_k \leq x_i^3+ y_j^3+ z_k^3$.

Suma esto sobre los triples $i,j,k$. Usted consigue $$3 \textrm{LHS}\leq \sum_i xi^3\sum{j+k=n-i} 1 + \textrm{sums for }y_i,z_i.$$

La idea clave es la combinatorics aquí: contar cuántas veces surge el término $x_i^3$. La conclusión es que $$3 \textrm{LHS}\leq \sum_i (n-i-1)(x_i^3+ y_i^3+ z_i^3)$$ .

Ahora aplica la hipótesis y deberías hacerlo.