Demuestre que si los eventos A y B son independientes, los eventos complementarios de A y B también son independientes.

Question

Lo sé:
$$\begin{gathered}P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)\ P\left(A^{C}\right)=1-P\left(A\right)\ P\left(B^{C}\right)=1-P\left(B\right) \end{reunidos} $$

Mi prueba hasta ahora:
$$\begin{gathered}P\left(A^{C}\cap B^{C}\right)=\left(1-P\left(A\right)\right)\left(1-P\left(B\right)\right)=\ 1-P\left(B\right)-P\left(A\right)+P\left(A\right)P\left(B\right)=1-P\left(B\right)-P\left(A\right)+P\left(A\cap B\right) \end{reunidos} $$

Después de eso, estoy atascado. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Supongamos que $A$ y $B$ son independientes. entonces \begin{align} P(A^c \cap B^c) &= 1 - P(A \cup B) \ &= 1 - P(A) - P(B) + P(A \cap B) \ &= 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) \ &= (1-P(A))(1-P(B)) \ &= P(A^c)P(B^c). \end{align}

Answer 2

Como ha encontrado:

P(A') = 1-P(A)

P(B') = 1- P(B)

Ahora claramente $P(A')P(B') =1 - [ P(A) + P(B)] + P(A \cap B)$

Desde el álgebra establecida sabemos que $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A\cap B)$ Sustituyendo, tenemos $P(A')P(B') = P([A\cup B]')$

Ahora, de la ley De morgans sabemos que:

$[A\cup B]' = [A' \cap B']$

Sustituyendo, tenemos $P(A')P(B') = P(A' \cap B')$, según sea necesario.

Answer 3

Por definición si dos eventos son independientes, <span class="math-container">$P(A | B)=P(A)=P(A/B')$</span>.

Por lo tanto, <span class="math-container">$P(A/B)=P(A \cap B)/P(B)=P(A)$</span> y por lo tanto multiplicando ambos lados por <span class="math-container">$P(B)$</span> obtenemos <span class="math-container">$P(A \cap B)= P(A)P(B)$</span>.

Por lo tanto, probado.