Lo primero - por favor, disculpen si mi forma de explicar mi problema no es formal o no es exacta a los estándares, soy un matemático amateur y tengo mucho que aprender, les invito a que me hagan saber sobre cualquier error, cualquier comentario será apreciado.
Más concretamente, mi problema es el siguiente Dados 4 puntos que se mueven en un plano a lo largo del tiempo, ¿cuáles son todas las soluciones posibles para las circunferencias que pasan por todos los puntos, donde una circunferencia se define por el tiempo en que se produce => $t$ , radio => $R$ y su vector central => $\vec{C}$ . Se puede formular utilizando la forma vectorial de la ecuación del círculo: $|\vec{P}-\vec{C}|=R$ donde $\vec{P}$ representa un punto del círculo, como el siguiente sistema de ecuaciones: $$|\vec{P_1}(t)-\vec{C}|=R$$ $$|\vec{P_2}(t)-\vec{C}|=R$$ $$|\vec{P_3}(t)-\vec{C}|=R$$ $$|\vec{P_4}(t)-\vec{C}|=R$$ Dónde $\vec{P_n}(t)$ es la posición del $n$ el punto dado un momento $t$ en el tiempo, y viene dada por $$\vec{P_n}(t)=\vec{P_n}(0)+t\vec{V_n}$$ donde $\vec{P_n}(0)$ es la posición del $n$ punto en $t=0$ y $\vec{V_n}$ es la velocidad del punto. También se puede expresar así: $$|\vec{P_1}(t)-\vec{C}|=|\vec{P_2}(t)-\vec{C}|=|\vec{P_3}(t)-\vec{C}|=|\vec{P_4}(t)-\vec{C}|=R$$ El problema se puede simplificar aún más suponiendo que un punto está en el origen de los ejes y no tiene velocidad (desplazando el origen de los ejes con un punto), esto nos deja esta representación: $$|\vec{P_1}(t)-\vec{C}|=|\vec{P_2}(t)-\vec{C}|=|\vec{P_3}(t)-\vec{C}|=|\vec{C}|=R$$
Lo que intenté: Traté de resolver esto de la manera tradicional de matemáticas de la escuela secundaria con la ecuación del círculo paramétrico completo: $$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$ Esto resultó ser una pesadilla, luché con ello durante un tiempo sin suerte. Entonces recurrí a las ecuaciones que describen el círculo que pasa por 3 puntos, y todo lo que necesitaba era introducir el cuarto punto. Utilicé el conjunto de ecuaciones de este artículo http://www.ambrsoft.com/trigocalc/circle3d.htm que fue muy útil y me puso en marcha. Sin embargo, no llegué muy lejos, llegué a una ecuación con $t$ como única variable, y se hizo ENORME, entonces usé Matlab para descifrarlo, y llegó a un polinomio de 4to grado, que era ENORME, y tratando de enchufar eso a la ecuación de las raíces para polinomios cuárticos (discutido por este tema: ¿Existe una fórmula general para resolver ecuaciones de 4º grado (cuárticas)? ) era inconcebiblemente complejo (y creo que significa lo que creo que significa...).
Lo que estoy considerando ahora: He pensado en varias opciones, 1. Usar sólo cálculos vectoriales sin dividir en las variables x e y, eso podría simplificar el problema y la cantidad de variables, pero no soy fuerte con mi álgebra lineal así que no tengo idea de cómo tratar de resolverlo de esa manera, sólo intuición sobre la dirección. 2. Llevar la generalización aún más lejos y generalizar el número de dimensiones del problema para que sea: $$|\vec{P_1}(t)-\vec{C}|=|\vec{P_2}(t)-\vec{C}|=|\vec{P_3}(t)-\vec{C}|=...=|\vec{P_n}(t)-\vec{C}|=|\vec{P_{n+1}}(t)-\vec{C}|=|\vec{P_{n+2}}(t)-\vec{C}|=R$$ Dónde $n$ es el número de dimensiones (sin incluir el tiempo), que por cierto es aún más alucinante para grahsp, y no tengo ni idea de cómo podría hacerse.
Lo que quiero de ti Orientación, dame las herramientas para resolver este problema, estoy más que entusiasmado por aprender cosas nuevas, y me he quedado sin trucos con este problema. Si tienes una solución por favor publícala con una explicación de cómo llegaste a esa solución y qué herramientas me faltaron. Gracias por llegar hasta aquí en mi post, se agradece mucho ;)
Ahora para aquellos que estén interesados aquí está mi motivo: Quiero codificar un programa que construya una triangulación dinámica de Delaunay para puntos que se mueven a través de un plano en el tiempo, y que se actualice mientras se mueve, pero quiero calcular el momento exacto en que la triangulación cambia para que sea rápido y eficiente. Si estás familiarizado con las triangulaciones de Delaunay sabrás que están definidas por una regla: Un círculo que pasa por 3 puntos que comparten un triángulo en el gráfico no puede contener ningún punto dentro de él. Eso implica que la gráfica cambia una vez que un punto se mete dentro de un círculo o interseca su circunferencia. Por eso quiero encontrar esta ecuación.
